I gruppi di 5 elementi sono abeliani
I gruppi di 5 elementi sono abeliani
Sia G un gruppo di 5 elementi. Dimostrare che G è abeliano.
Réver e révéler, c'est à peu prés le meme mot (R. Queneau)
Supponiamo per assurdo esistano $ x,y\in G $ t.c. $ xy\not=yx $ allora si ha:
1) $ x\not=e, y\not=e, x\not=y $
2) $ xy\not=x, yx\not=x, xy\not=e, yx\not=e, xy\not=y, yx\not=y $
Da cui, essendo $ o(G)=5 $ si ha $ G=\{e,x,y,xy,yx\} $
Cerchiamo tra questi $ x^{-1} $:
$ x^{-1}\not=e, x^{-1}\not=y $
Supponiamo $ x^{-1}=xy $ si avrebbe $ (xy)x=x(xy)=e $ da cui $ yx=xy $ (assurdo). Analogamente si vede che $ x^{-1}\not=yx $ da cui
1) $ x^{-1}=x $
2) $ y^{-1}=y $ (analogamente)
3) $ (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx $
Ma l'elemento $ xyx $ non è tra i 5 elencati: infatti si ha
1) $ xyx\not=e $
2) $ xyx\not=x $
3) $ xyx\not=xy $
4) $ xyx\not=yx $
da cui $ xyx=y $ il che implica $ yxyx=y^{2}=e $ (assurdo)
Non riesco a pensare ad una dimostrazione più semplice... voi?
1) $ x\not=e, y\not=e, x\not=y $
2) $ xy\not=x, yx\not=x, xy\not=e, yx\not=e, xy\not=y, yx\not=y $
Da cui, essendo $ o(G)=5 $ si ha $ G=\{e,x,y,xy,yx\} $
Cerchiamo tra questi $ x^{-1} $:
$ x^{-1}\not=e, x^{-1}\not=y $
Supponiamo $ x^{-1}=xy $ si avrebbe $ (xy)x=x(xy)=e $ da cui $ yx=xy $ (assurdo). Analogamente si vede che $ x^{-1}\not=yx $ da cui
1) $ x^{-1}=x $
2) $ y^{-1}=y $ (analogamente)
3) $ (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx $
Ma l'elemento $ xyx $ non è tra i 5 elencati: infatti si ha
1) $ xyx\not=e $
2) $ xyx\not=x $
3) $ xyx\not=xy $
4) $ xyx\not=yx $
da cui $ xyx=y $ il che implica $ yxyx=y^{2}=e $ (assurdo)
Non riesco a pensare ad una dimostrazione più semplice... voi?
"Sono il sig.Wolf, risolvo problemi."
Ma insomma, $ 5 $ è abbastanza primo, no? Beh, mi pareva di ricordare che qualsiasi gruppo di ordine primo è ciclico... dunque banalmente abeliano. 
Volendolo proprio mostrare, prendi $ G $ finito di ordine $ p $ con $ p $ primo. Fissa $ g \in G $ con $ g \neq 1 $ (esiste sicuramente). Allora è ben definito $ H = \langle g \rangle $, cioè il sottogruppo ciclico generato da $ g $. Beh, senz'altro $ H \neq \{ 1 \} $ perché $ g \neq 1 $ per ipotesi. Ma d'altra parte $ \# H \mid \#G $ per Lagrange, e questo implica necessariamente, giacché $ \#G = p $, che $ \#H = p = \#G $. Siccome stiamo ragionando con gruppi finiti, questo implica senz'altro che $ H=G $, cioè $ G=\langle g \rangle $, cioè $ G $ è ciclico. Ma se è ciclico, è abeliano, no? Tra parentesi, il ragionamento fatto in realtà mostra che ogni elemento di $ G $ diverso dall'identità è generatore del gruppo.
In realtà, anche un gruppo di ordine $ p^2 $ con $ p $ primo è abeliano, ma la dimostrazione che conosco è un filo più articolata.
Volendolo proprio mostrare, prendi $ G $ finito di ordine $ p $ con $ p $ primo. Fissa $ g \in G $ con $ g \neq 1 $ (esiste sicuramente). Allora è ben definito $ H = \langle g \rangle $, cioè il sottogruppo ciclico generato da $ g $. Beh, senz'altro $ H \neq \{ 1 \} $ perché $ g \neq 1 $ per ipotesi. Ma d'altra parte $ \# H \mid \#G $ per Lagrange, e questo implica necessariamente, giacché $ \#G = p $, che $ \#H = p = \#G $. Siccome stiamo ragionando con gruppi finiti, questo implica senz'altro che $ H=G $, cioè $ G=\langle g \rangle $, cioè $ G $ è ciclico. Ma se è ciclico, è abeliano, no? Tra parentesi, il ragionamento fatto in realtà mostra che ogni elemento di $ G $ diverso dall'identità è generatore del gruppo.
In realtà, anche un gruppo di ordine $ p^2 $ con $ p $ primo è abeliano, ma la dimostrazione che conosco è un filo più articolata.
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