Ciao a tutti,
ho un problema che credevo semplice da risolvere, ma alla fine mi è risultato macchinoso. Qualcuno mi può aiutare a semplificarlo?
Ho un solido definito da 5 facce, due triangolari e tre trapezie:
i vertici hanno le seguenti coordinate:
A0 (XA,YA,0)
B0 (XB,YB,0)
C0 (XC,YC,0)
A1 (XA,YA,ZA)
B1 (XB,YB,ZB)
C1 (XC,YC,ZC)
praticamente devo valutare il volume di un elemento 'TIN' di una superficie.
Qualcuno ha una 'formula' che mi possa dare direttamente il volume (senza suddividere in tre tetraedri ecc.ecc...)
Grazie,
Filippo
help! ...volume di solido (che credevo semplice...)
help! ...volume di solido (che credevo semplice...)
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Filippo Forlani
http://www.filippoforlani.org
Filippo Forlani
http://www.filippoforlani.org
Posto una soluzione non elementare...
Scegliamo un vertice di $ $A_0B_0C_0$ $ a caso... $ $B_0$ $
Chiamiamo h la lunghezza di $ $B_0H$ $ e l la lunghezza di $ $A_0C_0$ $.
Consideriamo ora un punto su $ $B_0H$ $ che delimita con $ $B_0$ $ un segmento di lunghezza u.
Abbiamo quindi una variabile u tale che $ $0 \leq u \leq h$ $.
Per semplicità introduciamo anche la variabile $ $t = \frac{u}{\overline{B_0H}}$ $
Consideriamo l'intersezione del piano parallelo a $ $A_0C_0C_1A_1$ $ e passante per il punto arbitrario su $ $B_0H$ $ con il solido:
incontra $ $A_0B_0$ $ in M, $ $B_0C_0$ $ in N, $ $A_1B_1$ $ in O e $ $B_1C_1$ $ in P.
$ $\overline{MN} = \overline{A_0C_0} t$ $
$ $\overline{MO} = \overline{A_0A_1} t + \overline{B_0B_1} \left( 1-t \right)$ $
$ $\overline{NP} = \overline{C_0C_1} t + \overline{B_0B_1} \left( 1-t \right)$ $
L'area del trapezio rettangolo MNPO è quindi
$ $\frac{\overline{A_0C_0} t \left[ \overline{A_0A_1} t + \overline{B_0B_1} \left( 1-t \right) + \overline{C_0C_1} t + \overline{B_0B_1} \left( 1-t \right) \right]}{2} =$ $
$ $= \frac{\overline{A_0C_0} \left( \overline{A_0A_1} + \overline{C_0C_1} \right)}{2} \cdot t^2 + t \left( 1-t \right) \overline{A_0C_0} \overline{B_0B_1}$ $
che si può riscrivere come:
$ $\frac{l \left( x_A + x_C \right)}{2} \cdot t^2 + t \left( 1-t \right) l x_B$ $
Ora possiamo calcolare il volume, che è l'integrale di quest'area per $ $0 \le u \le h$ $. Sostituendo t con u:
$ $V = \frac{l \left( x_A + x_C \right)}{2 h^2} \cdot \int^h_0 u^2 du + \frac{l x_B}{h^2} \int^h_0 \left( hu - u^2 \right) du =$ $
$ $= \frac{l \left( x_A + x_C \right)}{2 h^2} \cdot \frac{h^3}{3} + \frac{l x_B}{h^2} \cdot h^3 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) =$ $
$ $= \frac{hl}{6} \cdot \left( x_A + x_B + x_C \right)$ $
Ora notiamo che $ $\frac{hl}{2} = A_{A_0B_0C_0}$ $, quindi
$ $\boxed{V = A_{A_0B_0C_0} \cdot \frac{x_A + x_B + x_C}{3}}$ $
Cioè il volume si ottiene moltiplicando l'area della base per la media aritmetica delle altezze.
Forse si può dimostrare anche geometricamente...
P.S.: Spero di non aver scritto boiate...
Scegliamo un vertice di $ $A_0B_0C_0$ $ a caso... $ $B_0$ $
Chiamiamo h la lunghezza di $ $B_0H$ $ e l la lunghezza di $ $A_0C_0$ $.
Consideriamo ora un punto su $ $B_0H$ $ che delimita con $ $B_0$ $ un segmento di lunghezza u.
Abbiamo quindi una variabile u tale che $ $0 \leq u \leq h$ $.
Per semplicità introduciamo anche la variabile $ $t = \frac{u}{\overline{B_0H}}$ $
Consideriamo l'intersezione del piano parallelo a $ $A_0C_0C_1A_1$ $ e passante per il punto arbitrario su $ $B_0H$ $ con il solido:
incontra $ $A_0B_0$ $ in M, $ $B_0C_0$ $ in N, $ $A_1B_1$ $ in O e $ $B_1C_1$ $ in P.
$ $\overline{MN} = \overline{A_0C_0} t$ $
$ $\overline{MO} = \overline{A_0A_1} t + \overline{B_0B_1} \left( 1-t \right)$ $
$ $\overline{NP} = \overline{C_0C_1} t + \overline{B_0B_1} \left( 1-t \right)$ $
L'area del trapezio rettangolo MNPO è quindi
$ $\frac{\overline{A_0C_0} t \left[ \overline{A_0A_1} t + \overline{B_0B_1} \left( 1-t \right) + \overline{C_0C_1} t + \overline{B_0B_1} \left( 1-t \right) \right]}{2} =$ $
$ $= \frac{\overline{A_0C_0} \left( \overline{A_0A_1} + \overline{C_0C_1} \right)}{2} \cdot t^2 + t \left( 1-t \right) \overline{A_0C_0} \overline{B_0B_1}$ $
che si può riscrivere come:
$ $\frac{l \left( x_A + x_C \right)}{2} \cdot t^2 + t \left( 1-t \right) l x_B$ $
Ora possiamo calcolare il volume, che è l'integrale di quest'area per $ $0 \le u \le h$ $. Sostituendo t con u:
$ $V = \frac{l \left( x_A + x_C \right)}{2 h^2} \cdot \int^h_0 u^2 du + \frac{l x_B}{h^2} \int^h_0 \left( hu - u^2 \right) du =$ $
$ $= \frac{l \left( x_A + x_C \right)}{2 h^2} \cdot \frac{h^3}{3} + \frac{l x_B}{h^2} \cdot h^3 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) =$ $
$ $= \frac{hl}{6} \cdot \left( x_A + x_B + x_C \right)$ $
Ora notiamo che $ $\frac{hl}{2} = A_{A_0B_0C_0}$ $, quindi
$ $\boxed{V = A_{A_0B_0C_0} \cdot \frac{x_A + x_B + x_C}{3}}$ $
Cioè il volume si ottiene moltiplicando l'area della base per la media aritmetica delle altezze.
Forse si può dimostrare anche geometricamente...
P.S.: Spero di non aver scritto boiate...
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Non interessa a nessuno la mia soluzione? 
P.S.: Scusate la domanda OT, ma come mai nelle anteprime dei messaggi che contengono
tante formule LaTeX l'interprete ne trascura almeno una (di solito la prima)?
Per di più cliccando di nuovo su Anteprima la formula che non viene "parsata" cambia
(ad es. una volta l'interprete ne tralascia una, un'altra volta un'altra...
)
P.S.: Scusate la domanda OT, ma come mai nelle anteprime dei messaggi che contengono
tante formule LaTeX l'interprete ne trascura almeno una (di solito la prima)?
Per di più cliccando di nuovo su Anteprima la formula che non viene "parsata" cambia
(ad es. una volta l'interprete ne tralascia una, un'altra volta un'altra...
)
A costo di sembrare ingenuo devo ammettere di non avere capito lo scopo del problema. Il modo semplice (be', diciamo il meno scomodo e calcoloso) c'è, basta suddividere il tutto in un prisma e una piramide (vedi sotto). Ora, se lo scopo di tutto questo è risolvere un esercizio sugli integrali o su qualche altro modo balzano di trovare il volume la mia considerazione non fa testo, mentre se ci sono ricadute pratiche (stento a immaginarne una) può avere una sua utilità.
In effetti il metodo di kn porta già a una comoda formuletta generale (per ottenerla passando dal mio metodo ci vorrebbe una ridda di semplificazioni e sostituzioni che lascio volentieri a utenti più volonterosi) che mi sembra quanto di meglio si possa desiderare
Saluti.
Ob
In effetti il metodo di kn porta già a una comoda formuletta generale (per ottenerla passando dal mio metodo ci vorrebbe una ridda di semplificazioni e sostituzioni che lascio volentieri a utenti più volonterosi) che mi sembra quanto di meglio si possa desiderare
Saluti.
Ob
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Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
kn la tua soluzione direi prorpio che è quella che cercavo! (ma siamo sicuri che funzioni? eheh) ...ora cerco di implementarla!
Oblomov:
il mio è un problema 'reale' non un esercizio... il concetto di semplice è per problemi computazionali.
Ho infatti un modello del terreno definito da 'TIN' (triangulated irregular network): qualche decina di migliaia di solidi come quello presentato! di cui devo calcolare il volume avendo le coordinate di ogni punto (planimetriche e quota).
La tua semplificazione geometrica, però, mi costringe a determinare l'altezza della piramide, e a dare un ordine ai vertici (il più alto, il più basso e il medio).
grazie!
Filippo
P.S. ho postato lo stesso problema su un forum 'internazionale'... senza risposta! ...o qui ci sono i meglio... o forse è risultato un problema di scarso interesse... http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... 5779ec3ed5
Oblomov:
il mio è un problema 'reale' non un esercizio... il concetto di semplice è per problemi computazionali.
Ho infatti un modello del terreno definito da 'TIN' (triangulated irregular network): qualche decina di migliaia di solidi come quello presentato! di cui devo calcolare il volume avendo le coordinate di ogni punto (planimetriche e quota).
La tua semplificazione geometrica, però, mi costringe a determinare l'altezza della piramide, e a dare un ordine ai vertici (il più alto, il più basso e il medio).
grazie!
Filippo
P.S. ho postato lo stesso problema su un forum 'internazionale'... senza risposta! ...o qui ci sono i meglio... o forse è risultato un problema di scarso interesse... http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... 5779ec3ed5
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Filippo Forlani
http://www.filippoforlani.org
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