Ps. ovviamente $ f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} $ a scanso di equivoci
[Grazie a eli9o- fa eccezione il caso f(1)=f(2), quindi poniamo n>1 nella tesi..
]f iniettiva
f iniettiva
Mostrare che la $ f(n)=\displaystyle \sum_{gcd(i,n)=1}{i} $ è iniettiva
Ps. ovviamente $ f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} $ a scanso di equivoci
[Grazie a eli9o- fa eccezione il caso f(1)=f(2), quindi poniamo n>1 nella tesi.. ]
Ps. ovviamente $ f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} $ a scanso di equivoci
[Grazie a eli9o- fa eccezione il caso f(1)=f(2), quindi poniamo n>1 nella tesi..
]The only goal of science is the honor of the human spirit.
Se $ (i,n)=1 $ allora anche $ (n,n-i)=1 $. Il numero degli i coprimi con n è $ \phi(n) $. Avremo allora che $ \phi(n) $ è formato da coppie di numeri la cui somma è $ n $. Quindi $ \displaystyle \sum_{gcd(i,n)=1} i=\displaystyle \frac {\phi(n)\cdot n}{2} $
E qui mi sono fermato. Qualche aiutino su come continuare?
E qui mi sono fermato. Qualche aiutino su come continuare?
Ultima modifica di String il 10 ott 2008, 22:48, modificato 1 volta in totale.
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
Dato che ormai sono già in questa discussione provo a mettere una soluzione:
(mi scuso subito con chi leggerà la soluzione; mi rendo conto che non è scorrevole, ma non sapevo come metterla giù)
Dimostriamo solo che $ a\phi(a)=b\phi(b) \Rightarrow a=b $
Sia $ a= \prod p_i^{\alpha_i} \prod r_i^{\alpha_i} $ e $ b= \prod q_i^{\beta_i} \prod r_i^{\beta_i} $, dove $ p_i,q_i, r_i $ sono primi, in modo che $ (\prod p_i^{\alpha_i},\prod q_i^{\beta_i})=1 $, $ (\prod p_i^{\alpha_i}, \prod r_i^{\alpha_i})=1 $ e $ (\prod q_i^{\beta_i}, \prod r_i^{\beta_i})=1 $
Gli $ r_i $ sono ovviamente gli stessi in a e in b.
In pratica dati i 2 numeri a e b chiamiamo $ p_i $ i primi che appartengono ad a e non a b, $ q_i $ i primi che appartengono a b e non ad a e infine $ r_i $ i primi che appartengono (alla fattorizzazione) sia di a che di b.
Ricordiamo che $ \phi(a)=\prod p_i^{\alpha_i-1}(p_i-1) \prod r_i^{\alpha_i-1} (r_i-1) $ in quanto la funzione $ \phi $ è moltiplicativa.
Scriviamo dunque l'equazione $ a\phi(a)=b\phi(b) $ come
$ \prod r_i^{2 \alpha_i-1} \prod(r_i-1) \prod p_i^{2 \alpha_i-1} \prod(p_i-1)= \prod r_i^{2 \beta_i-1} \prod(r_i-1) \prod q_i^{2 \beta_i-1} \prod(q_i-1) $
I termini $ \prod(r_i-1) $ se ne vanno poi dividiamo da entrambe le parti per $ \prod r_i^{min[2\alpha_i-1,2\beta_i-1]} $ e rimane $ \prod r_i^{2\alpha_i-2\beta_i} \prod p_i^{2 \alpha_i-1} \prod(p_i-1)= \prod r_j^{2\beta_j-2\alpha_j} \prod q_i^{2 \beta_i-1} \prod(q_i-1) $
Siccome $ (\prod p_i^{2\alpha_i-1}, \prod r_j^{2\beta_j-2\alpha_j})=1 $ e $ (\prod p_i^{2\alpha_i-1}, \prod q_i^{2 \beta_i-1})=1 $ abbiamo che $ \prod p_i^{2\alpha_i-1}| \prod(q_i-1) $.
Allo stesso modo otteniamo che $ \prod q_i^{2 \beta_i-1}|\prod(p_i-1) $
Dato che la divisibilità è anche una relazione d'ordine possiamo anche considerare i simboli di divisibilità delle ultime espressioni come $ \leq $.
Ma è evidente che $ \prod p_i^{2\alpha_i-1} > \prod(p_i-1) $ e $ \prod q_i^{2 \beta_i-1} > \prod(q_i-1) $
Le quattro relazioni creano l'assurdo poichè combinandone 3 si ottiene la relazione contraria alla quarta.
(mi scuso subito con chi leggerà la soluzione; mi rendo conto che non è scorrevole, ma non sapevo come metterla giù)
Dimostriamo solo che $ a\phi(a)=b\phi(b) \Rightarrow a=b $
Sia $ a= \prod p_i^{\alpha_i} \prod r_i^{\alpha_i} $ e $ b= \prod q_i^{\beta_i} \prod r_i^{\beta_i} $, dove $ p_i,q_i, r_i $ sono primi, in modo che $ (\prod p_i^{\alpha_i},\prod q_i^{\beta_i})=1 $, $ (\prod p_i^{\alpha_i}, \prod r_i^{\alpha_i})=1 $ e $ (\prod q_i^{\beta_i}, \prod r_i^{\beta_i})=1 $
Gli $ r_i $ sono ovviamente gli stessi in a e in b.
In pratica dati i 2 numeri a e b chiamiamo $ p_i $ i primi che appartengono ad a e non a b, $ q_i $ i primi che appartengono a b e non ad a e infine $ r_i $ i primi che appartengono (alla fattorizzazione) sia di a che di b.
Ricordiamo che $ \phi(a)=\prod p_i^{\alpha_i-1}(p_i-1) \prod r_i^{\alpha_i-1} (r_i-1) $ in quanto la funzione $ \phi $ è moltiplicativa.
Scriviamo dunque l'equazione $ a\phi(a)=b\phi(b) $ come
$ \prod r_i^{2 \alpha_i-1} \prod(r_i-1) \prod p_i^{2 \alpha_i-1} \prod(p_i-1)= \prod r_i^{2 \beta_i-1} \prod(r_i-1) \prod q_i^{2 \beta_i-1} \prod(q_i-1) $
I termini $ \prod(r_i-1) $ se ne vanno poi dividiamo da entrambe le parti per $ \prod r_i^{min[2\alpha_i-1,2\beta_i-1]} $ e rimane $ \prod r_i^{2\alpha_i-2\beta_i} \prod p_i^{2 \alpha_i-1} \prod(p_i-1)= \prod r_j^{2\beta_j-2\alpha_j} \prod q_i^{2 \beta_i-1} \prod(q_i-1) $
Siccome $ (\prod p_i^{2\alpha_i-1}, \prod r_j^{2\beta_j-2\alpha_j})=1 $ e $ (\prod p_i^{2\alpha_i-1}, \prod q_i^{2 \beta_i-1})=1 $ abbiamo che $ \prod p_i^{2\alpha_i-1}| \prod(q_i-1) $.
Allo stesso modo otteniamo che $ \prod q_i^{2 \beta_i-1}|\prod(p_i-1) $
Dato che la divisibilità è anche una relazione d'ordine possiamo anche considerare i simboli di divisibilità delle ultime espressioni come $ \leq $.
Ma è evidente che $ \prod p_i^{2\alpha_i-1} > \prod(p_i-1) $ e $ \prod q_i^{2 \beta_i-1} > \prod(q_i-1) $
Le quattro relazioni creano l'assurdo poichè combinandone 3 si ottiene la relazione contraria alla quarta.
Hypotheses non fingo
Provo una dimostrazione più semplice.
Se $ a>b $ e $ (a,b)=1 $ allora si ha $ $ \frac {a}{b}=\frac {\phi(b)}{\phi(a)}=\frac {ka}{kb} $, che è assurdo poichè $ a>b $. Se invece $ (a,b)\neq 1 $ allora si possono semplificare i fattori comuni ottenendo $ $ \frac {a'}{b'}=\frac {\phi(b)}{\phi(a)} $. Esplicitiamo $ \phi(a) $ e $ \phi(b) $. L'equazione diventa
$ $ \frac {a'}{b'}=\frac {\displaystyle b\prod{\displaystyle \frac {p_i-1}{p_i}}}{\displaystyle a\prod{\displaystyle \frac {q_j-1}{q_j}}}=\frac {\displaystyle b'\prod{\displaystyle \frac {p_i-1}{p_i}}}{\displaystyle a'\prod{\displaystyle \frac {q_j-1}{q_j}}}\Rightarrow \displaystyle 1=\frac {\displaystyle b'^2\prod{\displaystyle \frac {p_i-1}{p_i}}}{\displaystyle a'^2\prod{\displaystyle \frac {q_j-1}{q_j}}} $.
Quindi affinchè l'equazione sia verificata, deve essere $ \displaystyle \prod \displaystyle \frac {p_i-1}{p_i}=a'^2 $ e $ \displaystyle \prod \displaystyle \frac {q_j-1}{q_j}=b'^2 $ ma ciò non può essere dato che $ (a',b')=1 $ mentre invece il MCD tra le due produttorie è $ \neq 1 $ in quanto per ipotesi di partenza $ (a,b)\neq 1 $. L'unico caso in cui l'uguaglianza è verificata è quindi quello in cui $ a=b $.
E'corretto?
Se $ a>b $ e $ (a,b)=1 $ allora si ha $ $ \frac {a}{b}=\frac {\phi(b)}{\phi(a)}=\frac {ka}{kb} $, che è assurdo poichè $ a>b $. Se invece $ (a,b)\neq 1 $ allora si possono semplificare i fattori comuni ottenendo $ $ \frac {a'}{b'}=\frac {\phi(b)}{\phi(a)} $. Esplicitiamo $ \phi(a) $ e $ \phi(b) $. L'equazione diventa
$ $ \frac {a'}{b'}=\frac {\displaystyle b\prod{\displaystyle \frac {p_i-1}{p_i}}}{\displaystyle a\prod{\displaystyle \frac {q_j-1}{q_j}}}=\frac {\displaystyle b'\prod{\displaystyle \frac {p_i-1}{p_i}}}{\displaystyle a'\prod{\displaystyle \frac {q_j-1}{q_j}}}\Rightarrow \displaystyle 1=\frac {\displaystyle b'^2\prod{\displaystyle \frac {p_i-1}{p_i}}}{\displaystyle a'^2\prod{\displaystyle \frac {q_j-1}{q_j}}} $.
Quindi affinchè l'equazione sia verificata, deve essere $ \displaystyle \prod \displaystyle \frac {p_i-1}{p_i}=a'^2 $ e $ \displaystyle \prod \displaystyle \frac {q_j-1}{q_j}=b'^2 $ ma ciò non può essere dato che $ (a',b')=1 $ mentre invece il MCD tra le due produttorie è $ \neq 1 $ in quanto per ipotesi di partenza $ (a,b)\neq 1 $. L'unico caso in cui l'uguaglianza è verificata è quindi quello in cui $ a=b $.
E'corretto?
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
C'è qualche passaggio che mi lascia perplesso:
in generale comunque non vale
$ \displaystyle 1= \frac{ b'^2 \prod \displaystyle \frac{p_i-1}{p_i}}{ a'^2 \prod \displaystyle \frac {q_i-1}{q_i}} \Rightarrow \prod \frac{p_i-1}{p_i}=a'^2 $ e $ \displaystyle\prod \frac{q_i-1}{q_i}=b'^2 $
Poi entrambe le produttorie danno numeri minori di 1 (ogni fattore è minore di 1), il MCD va per lo meno adattato.
in generale comunque non vale
$ \displaystyle 1= \frac{ b'^2 \prod \displaystyle \frac{p_i-1}{p_i}}{ a'^2 \prod \displaystyle \frac {q_i-1}{q_i}} \Rightarrow \prod \frac{p_i-1}{p_i}=a'^2 $ e $ \displaystyle\prod \frac{q_i-1}{q_i}=b'^2 $
Poi entrambe le produttorie danno numeri minori di 1 (ogni fattore è minore di 1), il MCD va per lo meno adattato.
Hypotheses non fingo
Si, mi sono accorto che quel passaggio non va bene ma comunque, dopo aver semplificato i fattori comuni a quelle produttorie, il loro rapporto deve essere un quadrato,
$ \displaystyle \frac {\displaystyle \prod{\displaystyle \frac {p_i-1}{p_i}}}{\displaystyle \prod{\displaystyle \frac {q_j-1}{q_j}}}=\displaystyle \left( \frac {a'}{b'}\right)^2 $
cosa che non può essere perchè a questo punto i primi sono tutti diversi.
Ora va bene?
$ \displaystyle \frac {\displaystyle \prod{\displaystyle \frac {p_i-1}{p_i}}}{\displaystyle \prod{\displaystyle \frac {q_j-1}{q_j}}}=\displaystyle \left( \frac {a'}{b'}\right)^2 $
cosa che non può essere perchè a questo punto i primi sono tutti diversi.
Ora va bene?
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
Questa è vera (anche perchè altrimenti non sarebbe vera la tesi 
) ma per me non è così immediato: i $ p_i $ possono dividere i $ q_j-1 $ e allo stesso modo i $ q_i $ possono dividere i $ p_i-1 $.
Io concluderei o con una relazione d'ordine oppure forse è più bello così:
sia $ r= max[p_i, q_j] $. Quindi $ r>(p_i-1) $ e $ r>(q_i-1) \forall i \in \mathbb{N} $ . Essendo primo non ha divisori (maggiori di 1) minori di sè stesso, e dato che compare una sola volta (al numeratore o al denominatore non importa) la frazione non può essere un quadrato perfetto in quanto tale primo non ha esponente pari.
Forse sono solo precisazioni inutili e andava bene comunque.
) ma per me non è così immediato: i $ p_i $ possono dividere i $ q_j-1 $ e allo stesso modo i $ q_i $ possono dividere i $ p_i-1 $. Io concluderei o con una relazione d'ordine oppure forse è più bello così:
sia $ r= max[p_i, q_j] $. Quindi $ r>(p_i-1) $ e $ r>(q_i-1) \forall i \in \mathbb{N} $ . Essendo primo non ha divisori (maggiori di 1) minori di sè stesso, e dato che compare una sola volta (al numeratore o al denominatore non importa) la frazione non può essere un quadrato perfetto in quanto tale primo non ha esponente pari.
Forse sono solo precisazioni inutili e andava bene comunque.
Hypotheses non fingo
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pic88
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- Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...
Non ho letto i post precedenti, pero' volevo farvi osservare che, data questa definizione, si mostra facilmente che r divide sia a che b, e con lo stesso esponente, e quindi tutto si semplifica e ci si riconduce ad un caso piu' semplice (vero per ipotesi induttiva sulla somma degli esponenti).eli9o ha scritto:Sia $ r= max[p_i, q_j] $. Quindi $ r>(p_i-1) $ e $ r>(q_i-1) \forall i \in \mathbb{N} $
Bellino il problema...
Non sto riuscendo molto bene a seguire le dimostrazioni postate sopra ma mi sembra che una soluzione possa essere sintetizzata così:
1) per ogni n>1 si ha: $ \displaystyle f(n)=\frac{n}{2}\phi (n) $
2) (come nota pic): se mf(m)=nf(n) allora, detto p il primo più grande che divide il minimo comune multiplo tra m e n si ha che p divide entrambi con lo stesso esponente, quindi per la motiplicatività della funzione nf(n) mi posso ricondurre a un caso più piccolo.
Come si dimostra 1) ?
Chiamiamo g(d,n) (con d|n) la somma dei multipli di d compresi tra 1 e n.
$ \displaystyle \sum_{(i,n)=1} i =\sum_{d|n} \mu (d) g(d,n) $
Visto che $ \displaystyle g(d,n)=d\frac{\frac{n}{d}(\frac{n}{d}+1)}{2} $, sostituendo ci viene che la nostra f è uguale a:
$ \displaystyle\frac{n}{2}\sum_{d|n} \mu (d)(\frac{n}{d}+1) $
Per avere 1) ci resta da mostrare che, per ogni n>1, $ \displaystyle\sum_{d|n} \mu (d)(\frac{n}{d}+1)=\phi (n) $
Ma $ \displaystyle\sum_{d|n} \mu (d)(\frac{n}{d}+1)=\sum_{d|n} \mu (d)+\sum_{d|n} \mu (d)\frac{n}{d} $ e ora
1a) $ \displaystyle\sum_{d|n} \mu (d)=\sum_{i=0}^k (-1)^k\binom{n}{k}=(1-1)^k=0 $ (k è il numero di divisori primi di n ed è >0 in quanto n>1 per ipotesi)
1b) $ \displaystyle\sum_{d|n} \mu (d)\frac{n}{d}=\phi (n) $ in quanto $ \displaystyle\sum_{d|n} \phi(d)=n $ (double counting sulle frazioni 1/n, 2/n, 3/n,...,n/n ridotte ai minimi termini)
Fatemi sapere se qualcosa è poco chiaro.
ciau!
p.s. Ho eliminato un paio di passaggi del tutto inutili dalla dimostrazione
Non sto riuscendo molto bene a seguire le dimostrazioni postate sopra ma mi sembra che una soluzione possa essere sintetizzata così:
1) per ogni n>1 si ha: $ \displaystyle f(n)=\frac{n}{2}\phi (n) $
2) (come nota pic): se mf(m)=nf(n) allora, detto p il primo più grande che divide il minimo comune multiplo tra m e n si ha che p divide entrambi con lo stesso esponente, quindi per la motiplicatività della funzione nf(n) mi posso ricondurre a un caso più piccolo.
Come si dimostra 1) ?
Chiamiamo g(d,n) (con d|n) la somma dei multipli di d compresi tra 1 e n.
$ \displaystyle \sum_{(i,n)=1} i =\sum_{d|n} \mu (d) g(d,n) $
Visto che $ \displaystyle g(d,n)=d\frac{\frac{n}{d}(\frac{n}{d}+1)}{2} $, sostituendo ci viene che la nostra f è uguale a:
$ \displaystyle\frac{n}{2}\sum_{d|n} \mu (d)(\frac{n}{d}+1) $
Per avere 1) ci resta da mostrare che, per ogni n>1, $ \displaystyle\sum_{d|n} \mu (d)(\frac{n}{d}+1)=\phi (n) $
Ma $ \displaystyle\sum_{d|n} \mu (d)(\frac{n}{d}+1)=\sum_{d|n} \mu (d)+\sum_{d|n} \mu (d)\frac{n}{d} $ e ora
1a) $ \displaystyle\sum_{d|n} \mu (d)=\sum_{i=0}^k (-1)^k\binom{n}{k}=(1-1)^k=0 $ (k è il numero di divisori primi di n ed è >0 in quanto n>1 per ipotesi)
1b) $ \displaystyle\sum_{d|n} \mu (d)\frac{n}{d}=\phi (n) $ in quanto $ \displaystyle\sum_{d|n} \phi(d)=n $ (double counting sulle frazioni 1/n, 2/n, 3/n,...,n/n ridotte ai minimi termini)
Fatemi sapere se qualcosa è poco chiaro.
ciau!
p.s. Ho eliminato un paio di passaggi del tutto inutili dalla dimostrazione
Ultima modifica di piever il 14 ott 2008, 16:15, modificato 1 volta in totale.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
Sicuro?eli9o ha scritto:I termini $ \prod(r_i-1) $ se ne vanno poi dividiamo da entrambe le parti per $ \prod r_i^{min[2\alpha_i-1,2\beta_i-1]} $ e rimane $ \prod r_i^{2\alpha_i-2\beta_i} \prod p_i^{2 \alpha_i-1} \prod(p_i-1)= \prod r_j^{2\beta_j-2\alpha_j} \prod q_i^{2 \beta_i-1} \prod(q_i-1) $
piever ha scritto:Bellino il problema...
Grazie, appena ho un po di tempo leggo con calma la tua soluzione
The only goal of science is the honor of the human spirit.
In effetti la precisione è un po' andata a farsi friggere. Provo a dirlo meglio (sperando che sia giusto)
Abbiamo la relazione
$ \displaystyle \prod r_i^{2\alpha_i-1} \prod (r_i-1) \prod p_i^{2\alpha_i-1} \prod (p_i-1) = \displaystyle \prod r_i^{2\beta_i-1} \prod (r_i-1) \prod q_i^{2\beta_i-1} \prod (q_i-1) $
A parte che non ho capito perchè mi manda a capo l'uno, questa non dava problemi giusto?
Poi cambiamo lettere così forse c'è meno casino.
Siano gli $ s_i $ quegli $ r_i $ che hanno esponente maggiore nell' LHS (cioè quelli che hanno il rispettivo $ \alpha_i $ maggiore del rispettivo $ \beta_i $)
Siano gli $ t_i $ quegli $ r_i $ che hanno esponente maggiore nell' RHS (cioè quelli che hanno il rispettivo $ \beta_i $ maggiore del rispettivo $ \alpha_i $)
Quindi dividiamo per $ \displaystyle \prod s_i^{2\beta_i-1} \prod t_i^{2 \alpha_i-1} $
Non penso che il problema fosse nemmeno il mandar via gli $ r_i-1 $. Poi vanno via anche gli $ r_i $ che non sono né $ s_i $ né $ t_i $ perché hanno l'esponente uguale. A questo punto dovrebbe rimanere
$ \displaystyle \prod s_i^{2\alpha_i-2\beta_i} \prod p_i^{2\alpha_i-1} \prod (p_i-1) = \prod t_i^{2\beta_i-2\alpha_i} \prod q_i^{2\beta_i-1} \prod (q_i-1) $
Ora questa sarebbe la relazione citata da jordan scritta (spero) un po' meglio.
Per il resto della dimostrazione dovrebbe bastare cambiare un $ r_j $ con un $ t_i $.
Abbiamo la relazione
$ \displaystyle \prod r_i^{2\alpha_i-1} \prod (r_i-1) \prod p_i^{2\alpha_i-1} \prod (p_i-1) = \displaystyle \prod r_i^{2\beta_i-1} \prod (r_i-1) \prod q_i^{2\beta_i-1} \prod (q_i-1) $
A parte che non ho capito perchè mi manda a capo l'uno, questa non dava problemi giusto?
Poi cambiamo lettere così forse c'è meno casino.
Siano gli $ s_i $ quegli $ r_i $ che hanno esponente maggiore nell' LHS (cioè quelli che hanno il rispettivo $ \alpha_i $ maggiore del rispettivo $ \beta_i $)
Siano gli $ t_i $ quegli $ r_i $ che hanno esponente maggiore nell' RHS (cioè quelli che hanno il rispettivo $ \beta_i $ maggiore del rispettivo $ \alpha_i $)
Quindi dividiamo per $ \displaystyle \prod s_i^{2\beta_i-1} \prod t_i^{2 \alpha_i-1} $
Non penso che il problema fosse nemmeno il mandar via gli $ r_i-1 $. Poi vanno via anche gli $ r_i $ che non sono né $ s_i $ né $ t_i $ perché hanno l'esponente uguale. A questo punto dovrebbe rimanere
$ \displaystyle \prod s_i^{2\alpha_i-2\beta_i} \prod p_i^{2\alpha_i-1} \prod (p_i-1) = \prod t_i^{2\beta_i-2\alpha_i} \prod q_i^{2\beta_i-1} \prod (q_i-1) $
Ora questa sarebbe la relazione citata da jordan scritta (spero) un po' meglio.
Per il resto della dimostrazione dovrebbe bastare cambiare un $ r_j $ con un $ t_i $.
Hypotheses non fingo
very goodeli9o ha scritto:In effetti la precisione è un po' andata a farsi friggere. Provo a dirlo meglio (sperando che sia giusto)
Abbiamo la relazione
$ \displaystyle \prod r_i^{2\alpha_i-1} \prod (r_i-1) \prod p_i^{2\alpha_i-1} \prod (p_i-1) = \displaystyle \prod r_i^{2\beta_i-1} \prod (r_i-1) \prod q_i^{2\beta_i-1} \prod (q_i-1) $
A parte che non ho capito perchè mi manda a capo l'uno, questa non dava problemi giusto?
Poi cambiamo lettere così forse c'è meno casino.
Siano gli $ s_i $ quegli $ r_i $ che hanno esponente maggiore nell' LHS (cioè quelli che hanno il rispettivo $ \alpha_i $ maggiore del rispettivo $ \beta_i $)
Siano gli $ t_i $ quegli $ r_i $ che hanno esponente maggiore nell' RHS (cioè quelli che hanno il rispettivo $ \beta_i $ maggiore del rispettivo $ \alpha_i $)
Quindi dividiamo per $ \displaystyle \prod s_i^{2\beta_i-1} \prod t_i^{2 \alpha_i-1} $
Non penso che il problema fosse nemmeno il mandar via gli $ r_i-1 $. Poi vanno via anche gli $ r_i $ che non sono né $ s_i $ né $ t_i $ perché hanno l'esponente uguale. A questo punto dovrebbe rimanere
$ \displaystyle \prod s_i^{2\alpha_i-2\beta_i} \prod p_i^{2\alpha_i-1} \prod (p_i-1) = \prod t_i^{2\beta_i-2\alpha_i} \prod q_i^{2\beta_i-1} \prod (q_i-1) $
Ora questa sarebbe la relazione citata da jordan scritta (spero) un po' meglio.
Per il resto della dimostrazione dovrebbe bastare cambiare un $ r_j $ con un $ t_i $.
io concluderei $ \prod{p_i-1}<\prod{p^{2\alpha_i-1}} \le \prod{q_i-1} < \prod{q_i^{2\beta_i-1}} \le \prod{p_i-1} $
The only goal of science is the honor of the human spirit.