2^n=7x^2+y^2

[String]

Siano $ x $,$ y $ degli interi dispari. Dimostrare che se n $ \geq 3 $ allora $ 2^n $ è esprimibile nella forma $ 2^n=7x^2+y^2 $.

E' preso dall'engel, ovviamente non sono in grado in farlo anche se ci sto provando da un bel pò. Sono andato anche a vedere la soluzione ma non ci ho capito molto... Voi come lo risolvereste? (Magari spiegandolo in modo semplice )

[jordan]

Per quanto difficile senza soluzione, questo problema è diventato un must, e a mio parere è scritto anche bene la soluzione sull'engel..

Non voglio insistere ma è stato anche postato recentemente il problema sull'oliforum..ad ogni modo, per non rendere inutile il messaggio, puoi spiegarci dove non ti è chiaro?magari anche "quotando" i pezzi oscuri..

[String]

beh, non è che non capisco ciò che dice, è che non capisco come arriva a pensare alla media aritmetica...forse ci si arriva per tentativi e con un pò di fortuna...boh...ditemi voi...nel caso fosse cosi non ci sarebbe una soluzione alternativa?

[jordan]

se è per questo anche sull'engel ricordo che dava una specie di tabella con piccoli valori di n, poi facevi le tue ipotesi su cosa poteva essere e concludevi dmostrando per induzione..be, credo che come molti altri esercizi il difficile sia solo vederlo la prima volta, poi dovrebbe venire quasi automatico in altri dello stesso genere.. ps di soluzioni alternative non mi vengono in mente per adesso anche perche da quella tabella puoi intuire che non ci sono molte possibilità..

[Alex89]

Leggerò per bene i testi dei problemi prima di postare
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... and so on...

[Stradh]

Soluzione per sostituzione...

Se io pongo $ x=y=2^k $...

Ma $ x,y $ sono dispari...

...viene $ 2^n=2^{2k+3} $ e così ho rappresentato tutte le potenze dispari. Ricordando che 7+9=16 arrivo a sostituire $ y=3x=2^k $

... in ogni caso se $ y=3x=2^k $ per quale valore di $ k $, $ x $ è intero?

[Alex89]

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Ok, per quanto riguarda la soluzione, era $ x=2^k $ e $ y=3x $...

[piever]

non ci sarebbe una soluzione alternativa?

Il motivo vero per cui la tesi è vera:

Sia j una radice del polinomio $ x^2-x+2 $

$ \mathbb{Z}[j] $ è un anello a fattorizzazione unica a meno di unità (riesci senza troppa difficoltà a definire una divisione con resto sensata, il resto segue). Il coniugato di $ a+bj $ è $ a+b-bj $

Chiaramente $ j^{n-2}(1-j)^{n-2}=2^{n-2} $

Poniamo $ j^{n-2}=a+bj $

Questo ci fornisce a e b tali che $ a^2+ba+2b^2=2^{n-2} $

Siccome $ (1-j,j)=1 $ abbiamo che $ 1-j\nmid a+bj $ ovvero che a+b è dispari, questo (unito alla disuguaglianza di sopra per $ n-2\ge 1 $) implica che b è dispari (si vede facilmente per assurdo). Ponendo y=2a+b e x=b abbiamo che $ 7x^2+y^2=4(a^2+ba+2b^2)=2^n $ come richiesto.

Chiaramente in gara non la scriverai così la soluzione (sembra poco olimpico) e espliciterai gli a e b tramite una ricorrenza.

Spero di essere stato chiaro e non troppo stringato.

Ciao!

EDIT: nel caso ti mancasse la teoria sulle estensioni di campo, dovrebbe esserci qualche video di qualche senior da qualche parte che puoi vederti...

[elianto84]

Alternativamente:

Lemma1) Il prodotto di due numeri della forma x²+7y² é della medesima forma:
<tex>(x^2+7y^2)(z^2+7w^2) = (xz+7yw)^2 + (xw-yz)^2 </tex>
Basta scrivere (norma del prodotto)=(prodotto delle norme) in <tex>\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]</tex>
Lemma2) 2³ e 2⁴ sono della forma x²+7y² per (x,y)=(1,1),(1,3)
Lemma3) Se n é della forma x²+7y², lo é anche 4n.