AMC right angle

[jordan]

Si consideri un quadrilatero ciclico $ ABCD $ tale che $ AB>CD \text{ e } BC>AD $. Si prendano ora due punti $ X \text{ e }Y $ rispettivamente su $ AB \text{ e }CD $ tali che $ AX=CD \text{ e }AD=CY $. Mostrare che se $ M $ è il punto medio di $ XY $ allora $ AMC $ è retto.


Come minimo vogliamo vedere anche quella di Gabriel no?

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Già, il problema è molto mathlinkese

Sia N il punto medio di AC, P il punto medio di CX, allora per talete $ PM \parallel BC $ e $ PN \parallel AB $ quindi $ \angle NPM = 180 - \angle ABC = \angle COA $ inoltre $ \frac{CD}{PN}=\frac{XA}{PN}=2=\frac{YA}{PM}=\frac{DA}{PM} $ quindi i triangoli DCA e PNM sono simili con rapporti tra lunghezze 2, quindi CA = 2 NM che equivale alla tesi.

[Algebert]

Anch'io l'ho fatto in maniera molto simile, era piuttosto semplice come problema (di certo non si risolve brutalmente con vettori, complessi, analitica, trigonometria et cetera ); purtroppo non ho potuto inserire la figura all'interno della soluzione (provvedo a rimediare subito questa mia lacuna), spero di non venire penalizzato troppo per questo .

@ Gabriel:
almeno dillo che provare la tesi equivaleva a dimostrare che il punto medio $ $M$ $ del segmento $ $XY$ $ stava su una circonferenza di centro $ $N$ $ e diametro $ $AC$ $.

[jordan]

Anch'io l'ho fatto in maniera molto simile, era piuttosto semplice come problema (di certo non si risolve brutalmente con vettori, complessi, analitica, trigonometria et cetera ); purtroppo non ho potuto inserire la figura all'interno della soluzione (provvedo a rimediare subito a questa mia lacuna), spero di non venire penalizzato troppo per questo .

tranquillo, non sarai penalizzato

[Algebert]

tranquillo, non sarai penalizzato

Ah, per fortuna ! Grazie jordan !

[julio14]

Io ho fatto tutto un po' più contoso... ho fatto il simmetrico di D rispetto al punto medio di AC, così mi venivano fuori due triangoli isosceli con le basi che dopo parecchi conti si dimostravano essere perpendicolari fra loro e perpendicolari ad AM e MC

[pic88]

Un'idea è anche il simmetrico di A rispetto a M. Esso ha la stessa distanza di A da C (perché?)

[Zok]

Ecco una maniera molto elegante con cui qualcuno ha risolto questo problema...però provate a pensarci voi prima di andare a guardare!