Risolvere nell'insieme dei naturali:
1)$ x^2-2y^2=1 $
2)$ 2x^2-y^2=1 $
Doppia diofantea
Sono entrambe diofantee di secondo grado in due variabili. C'è un modo meccanico, scritto nell'ultima scheda di gobbino (che ovviamente non so a memoria) di risolverle trovando tutte le soluzioni razionali in termine di una sola incognita t. A quel punto è un gioco trovare le soluzioni intere o naturali... Peccato che non lo so a memoria quel procedimento, e voglia di andare a prendere le schede ora non ne ho. Cerco di vedere se me lo ricordo o se mi viene in mente qualcos'altro! =)
Ed eccola qui l'altra idea. Per la prima:
$ x^2-2y^2=1 $
$ x^2-1=2y^2 $
$ (x+1)(x-1)=2yy $
E poi si costruiscono i 6 sistemi con i fattori dall'una e l'altra parte.
Il primo sarà composto dalle equazioni
$ x+1=1 $ e $ x-1=2y^2 $ (non so come fare i sistemi in LaTex help!)
e da come soluzioni roba non naturale.
Il secondo sarà
$ x+1=2 $ e $ x-1=y^2 $
che da come soluzioni $ (1;0) $
Il terzo sarà
$ x+1=y $ e $ x-1=2y $
che da come soluzioni roba non naturale
Il quarto sarà
$ x+1=2y $ e $ x-1=y $
che da come soluzioni $ (3;2) $
Il quinto sarà
$ x+1=y^2 $ e $ x-1=2 $
che da come soluzioni $ (3;2) $ di nuovo
Il sesto sarà
$ x+1=2y^2 $ e $ x-1=1 $
che da come soluzioni roba non naturale.
A questo punto mi viene un dubbio da studente di scuola elementare: Ma lo 0 è un numero naturale o no? Se si, a meno di errori di calcolo o svarioni miei totali, ci sono due soluzioni e sono $ (1;0) $ e $ (3;2) $, sennò solo $ (3;2) $
Fatemi sapere se corretto...
$ x^2-2y^2=1 $
$ x^2-1=2y^2 $
$ (x+1)(x-1)=2yy $
E poi si costruiscono i 6 sistemi con i fattori dall'una e l'altra parte.
Il primo sarà composto dalle equazioni
$ x+1=1 $ e $ x-1=2y^2 $ (non so come fare i sistemi in LaTex help!)
e da come soluzioni roba non naturale.
Il secondo sarà
$ x+1=2 $ e $ x-1=y^2 $
che da come soluzioni $ (1;0) $
Il terzo sarà
$ x+1=y $ e $ x-1=2y $
che da come soluzioni roba non naturale
Il quarto sarà
$ x+1=2y $ e $ x-1=y $
che da come soluzioni $ (3;2) $
Il quinto sarà
$ x+1=y^2 $ e $ x-1=2 $
che da come soluzioni $ (3;2) $ di nuovo
Il sesto sarà
$ x+1=2y^2 $ e $ x-1=1 $
che da come soluzioni roba non naturale.
A questo punto mi viene un dubbio da studente di scuola elementare: Ma lo 0 è un numero naturale o no? Se si, a meno di errori di calcolo o svarioni miei totali, ci sono due soluzioni e sono $ (1;0) $ e $ (3;2) $, sennò solo $ (3;2) $
Fatemi sapere se corretto...
Non lo è, perché $ \displaystyle y $ non è necessariamente primo; pensa alla coppia $ (17, 12) $...Fedecart ha scritto:Ed eccola qui l'altra idea. Per la prima:
$ x^2-2y^2=1 $
$ x^2-1=2y^2 $
$ (x+1)(x-1)=2yy $
E poi si costruiscono i 6 sistemi con i fattori dall'una e l'altra parte.
[cut]
Fatemi sapere se corretto...
come ha detto pigkappa non è un sistema; e anche se lo fosse il fatto che la prima abbia infinite soluzioni non significa che tutte le soluzioni della seconda risolvano la primamatteo16 ha scritto:la prima è un equazione di Pell e quindi ha infinite soluzioni.
quindi le soluzioni del sistema coincidono con quelle della seconda equazione
[url=http://www.eigenlab.tk/]eigenLab[/url]
ah l'avevo considerato come sistema.Desh ha scritto:come ha detto pigkappa non è un sistema; e anche se lo fosse il fatto che la prima abbia infinite soluzioni non significa che tutte le soluzioni della seconda risolvano la primamatteo16 ha scritto:la prima è un equazione di Pell e quindi ha infinite soluzioni.
quindi le soluzioni del sistema coincidono con quelle della seconda equazione
beh resta sempre il fatto che la prima ha infinite soluzioni.
adesso manca la seconda
Vediamo di fare la seconda:
$ \displaystyle 2x^2 = y^2 + 1 $
Con un po' di congruenze si vede che deve essere $ \displaystyle y = 6y_1 \pm 1 $. Mi limito al caso $ \displaystyle y=6y_1+1 $ perchè l'altro caso è molto simile a questo. Pongo perciò $ \displaystyle y=6y_1+1 $, lo metto nell'equazione, svolgo i calcoli, chiamo $ \displaystyle y_2=3y_1 $ e scopro che l'equazione si riduce a:
$ \displaystyle x^2 = y_2^2 + (y_2+1)^2 $
Che è molto più bella: si tratta di una terna pitagorica primitiva. A questo punto distinguo in due casi.
1)Se $ \displaystyle y_2 $ è pari, ho per il trucchetto delle terne pitagoriche:
$ \displaystyle y_2 = 2mn $
$ \displaystyle y_2 + 1 = m^2 - n^2 $
Facendo la differenza trovo:
$ \displaystyle 1 = m^2 -2mn - n^2 $. Da questa vedo che $ \displaystyle n^2 \equiv -1 \pmod{m} $ e, considerando $ \displaystyle n $ non negativo ho $ \displaystyle n \geq \sqrt{m - 1} $. Mettendolo nell'equazione sopra si ha allora:
$ \displaystyle m^2 - 2mn -n^2 \leq 1 - 2m \sqrt{m - 1} < 1 $
Che è assurdo (si vede facilmente che m è maggiore di 1). Perciò in questo caso non ci sono soluzioni.
2)Se $ \displaystyle y_2 $ è dispari, si procede allo stesso modo, ma si trova la soluzione $ \displaystyle n=1 $, $ \displaystyle m=2 $ che dà come risultato $ \displaystyle x=5 $ e $ \displaystyle y=7 $.
$ \displaystyle 2x^2 = y^2 + 1 $
Con un po' di congruenze si vede che deve essere $ \displaystyle y = 6y_1 \pm 1 $. Mi limito al caso $ \displaystyle y=6y_1+1 $ perchè l'altro caso è molto simile a questo. Pongo perciò $ \displaystyle y=6y_1+1 $, lo metto nell'equazione, svolgo i calcoli, chiamo $ \displaystyle y_2=3y_1 $ e scopro che l'equazione si riduce a:
$ \displaystyle x^2 = y_2^2 + (y_2+1)^2 $
Che è molto più bella: si tratta di una terna pitagorica primitiva. A questo punto distinguo in due casi.
1)Se $ \displaystyle y_2 $ è pari, ho per il trucchetto delle terne pitagoriche:
$ \displaystyle y_2 = 2mn $
$ \displaystyle y_2 + 1 = m^2 - n^2 $
Facendo la differenza trovo:
$ \displaystyle 1 = m^2 -2mn - n^2 $. Da questa vedo che $ \displaystyle n^2 \equiv -1 \pmod{m} $ e, considerando $ \displaystyle n $ non negativo ho $ \displaystyle n \geq \sqrt{m - 1} $. Mettendolo nell'equazione sopra si ha allora:
$ \displaystyle m^2 - 2mn -n^2 \leq 1 - 2m \sqrt{m - 1} < 1 $
Che è assurdo (si vede facilmente che m è maggiore di 1). Perciò in questo caso non ci sono soluzioni.
2)Se $ \displaystyle y_2 $ è dispari, si procede allo stesso modo, ma si trova la soluzione $ \displaystyle n=1 $, $ \displaystyle m=2 $ che dà come risultato $ \displaystyle x=5 $ e $ \displaystyle y=7 $.