gara su piani inclinati [non difficile ma carino]

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ummagumma
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gara su piani inclinati [non difficile ma carino]

Messaggio da ummagumma » 26 ago 2008, 17:22

Si consideri la rampa illustrata in figura. Il tratto AB è lungo L = 2 m, è inclinato di a = 30° e scabro (μD = 0.2), il
tratto CD è inclinato di β = 45° e liscio, mentre il raccordo BC è liscio ed è fatto in maniera tale da non alterare modulo della velocità dei corpi che lo percorrono. Dal punto vengono lasciati liberi scendere lungo la rampa, con velocità iniziale nulla, tre corpi: un blocco di massa 1 kg e dimensioni trascurabili; un
cilindro omogeneo di massa 2 kg e piccolo raggio (non trascurabile) che per tutto il moto da A a B è visto rotolare senza strisciare; un corpo di massa 3 kg e dimensioni trascurabili che è sollevato su un cuscinetto d’aria in modo da
non subire forze di attrito durante il suo moto. Determinare:
a) quale deve essere l’intervallo di tempo minimo che occorre attendere nel rilasciare i corpi in A perché
questi raggiungano il punto B nella sequenza di partenza;
b) quale è la massima altezza che i tre corpi raggiungeranno sul tratto di rampa CD, giustificando le eventuali differenze.
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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 05 set 2008, 11:45

Non sono sicuro che sia tutto giusto... :roll:

a) Calcoliamo la componente dell'accelerazione lungo il piano inclinato dei tre corpi, che indichiamo rispettivamente con gli indici 1, 2, 3.

Il corpo 1 è soggetto alla componente della forza peso diretta verso B e alla forza di attrito, diretta verso A. Quindi $ $ m_1 \cdot a_1 = m_1 g \sin 30° - \mu _d \cdot m_1 g \cos 30° $ , da cui $ $ a_1 = g ( \sin 30° - \mu_d \cos 30° ) $.
Il corpo 2 invece rutoa senza strisciare, dunque ha un'accelerazione angolare dovuta al momento della forza peso rispetto al punto di appoggio del cilindro. Perciò, indicando con r il raggio del cilindro si ha che $ $ a_2 = r\cdot \alpha = r\cdot \frac {M}{I}= r \cdot \frac {m_2 g \sin 30° \cdot r}{ \frac{1}{2}m_2 r^2+ m_2 r^2}= \frac {2}{3}g \sin 30° $, dove per calcolare il momento di inerzia I ho usato il teorma di Huygens-Steiner.
Invece il corpo 3 è sottoposto alla sola forza peso, dunque $ a_3 = g \sin 30° $.

Da qui si possono ricavare i tempi di percorrenza di AB per i tre corpi. Infatti dalla formula $ $ s = \frac {1}{2} a t^2 $ si ricava $ $ t = \sqrt {\frac {2s}{a} $.
Perciò si ricava che i tempi di percorrenza del tratto AB sono:
$ t_1 = 0,78 s $
$ t_2 = 1,11 s $
$ t_3 = 0,91 s $

Da questi tempi puoi ricavare gli intervalli di tempo da attendere nel rilasciare i corpi (se ho capito bene la domanda, chiedi l'istante a cui devi lasciare i corpi affinche arrivino contemporaneamente in B).

b) Per la conservazione dell'energia, il corpo 3 e il corpo 2, che non sono soggetti alla forza di attrito, arriveranno alla stessa altezza da cui erano partiti, cioè $ $ 2 \cdot \sin 30° = 1 m $.
Invece il corpo 1 perde una quantità di energia pari al lavoro svolto dalla forza di attrito nel tratto AB, cioè $ $ L_att = F \cdot s = \mu_d \cdot m_1 g \cos 30° \cdot 2 = 3,43 J $.
Quindi l'altezza a cui arriverà il corpo 1 sarà $ $ h = \frac {m_1 g h_0 - L_att}{m_1 g}= 0,66 m $.

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