SNS 2008/2009 problema 4
SNS 2008/2009 problema 4
Sono date quattro aste rigide di lunghezza $ \displaystyle L $ e massa uniformemente distribuita $ \displaystyle m $. Esse sono collegate l'una di seguito all'altra tramite dei giunti flessibili di peso e dimensioni trascurabili in modo da formare una catena, le cui estremità sono a loro volta attaccate, tramite gli stessi giunti, al soffitto di una stanza a una distanza $ $D = (1 + \sqrt{3})L$ $ tra di loro. Quale deve essere la minima altezza del soffitto della stanza per cui la catena, nella sua posizione di equilibrio, non tocca il pavimento?
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
In questo mi sono dichiaratamente inventata che la "risultante" di 2 aste attaccate, di cui una appesa al soffitto, dovesse essere inclinata di 45°.. E alla fine mi è risultato uno schifosissimo D/2..
Ho provato a ragionare con le tensioni, ma non sapevo dove andare a parare..
Ho provato a ragionare con le tensioni, ma non sapevo dove andare a parare..
Musica est exercitium aritmeticae occultum nescientis se numerari animi. (Leibniz)
La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (B. Russell)
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Anche a me veniva così, però forse ho assunto come nota una cosa che invece dovevo dimostrare .caino ha scritto:A me gli angoli sono venuti di 30 e 60 però ho fatto una marea di conti che non ho riportato completamente. Avrà il suo bel da fare chi dovrà correggerlo...
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
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- Iscritto il: 30 mag 2007, 20:13
Le posizioni d'equilibrio sono tali che minimizzano l'energia potenziale del sistema.
il problema era simmetrico rispetto all'asse della retta che congiungeva i due ganci.
se si chiama x l'angolo formato dall'asta collegata al primo gancio col soffitto, l'angolo che formava la seconda col soffitto era univocamente determinato.
in funzione di x si scriveva la somma delle quote dei due baricentri,moltiplicata per mg, cioè l'energia potenziale totale.
la derivata di tale funzione si annullava in x=pi/3
il problema era simmetrico rispetto all'asse della retta che congiungeva i due ganci.
se si chiama x l'angolo formato dall'asta collegata al primo gancio col soffitto, l'angolo che formava la seconda col soffitto era univocamente determinato.
in funzione di x si scriveva la somma delle quote dei due baricentri,moltiplicata per mg, cioè l'energia potenziale totale.
la derivata di tale funzione si annullava in x=pi/3
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Aspetta.. Stai dicendo che il triangolo formato dai due estremi di D e dal gancio centrale (quello che non doveva toccare terra) era equilatero, giusto?
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