Siano dati due numeri naturali non nulli m ed n; si dimostri che la rappresentazione in base b del loro rapporto non puòavere periodo b-1..
un saluto a tutti ...risolvere un bel problema
risolvere un bel problema
ciao a tutti ...vi propongo questo problema...che non ho saputo risolvere...
Siano dati due numeri naturali non nulli m ed n; si dimostri che la rappresentazione in base b del loro rapporto non puòavere periodo b-1..
un saluto a tutti ...
Siano dati due numeri naturali non nulli m ed n; si dimostri che la rappresentazione in base b del loro rapporto non puòavere periodo b-1..
un saluto a tutti ...
Re: risolvere un bel problema
sinceramente non ho capito neanche iomatteodl ha scritto:ciao a tutti ...vi propongo questo problema...che non ho saputo risolvere...
Siano dati due numeri naturali non nulli m ed n; si dimostri che la rappresentazione in base b del loro rapporto non puòavere periodo b-1..
in che senso non può avere periodo b-1?
Significa che, scrivendo il numero con la virgola, il periodo del numero non è b-1; in base 10 ad esempio significa che non può venire 9 periodico, il che è vero perché 9 periodico si sostituisce con 0 aggiungendo 1 all'ultima cifra prima del periodo.
Se in base b avessimo b-1 periodico, allora il numero suddetto sarebbe uguale a
$ n+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{b-1}{b^k}\frac{1}{b^i} $
ponendo n ugale al numero privato del periodo, ovvero alla parte intera del numero più l'antiperiodo, e k uguale al numero di cifre dell'antiperiodo.
Otteniamo che il numero è uguale a
$ n+\frac{b-1}{b^k} \sum^{\infty}_{i=1}\frac{1}{b^i} $
La sommatoria di cui sopra è uguale a $ \frac{1}{b-1} $, dunque il numero è uguale a
$ n+\frac{1}{b^k} $, che non è un numero periodico perché contiamo in base b.
Dunque al posto di un numero periodico con periodo b-1 otteniamo un numero non periodico.
Se in base b avessimo b-1 periodico, allora il numero suddetto sarebbe uguale a
$ n+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{b-1}{b^k}\frac{1}{b^i} $
ponendo n ugale al numero privato del periodo, ovvero alla parte intera del numero più l'antiperiodo, e k uguale al numero di cifre dell'antiperiodo.
Otteniamo che il numero è uguale a
$ n+\frac{b-1}{b^k} \sum^{\infty}_{i=1}\frac{1}{b^i} $
La sommatoria di cui sopra è uguale a $ \frac{1}{b-1} $, dunque il numero è uguale a
$ n+\frac{1}{b^k} $, che non è un numero periodico perché contiamo in base b.
Dunque al posto di un numero periodico con periodo b-1 otteniamo un numero non periodico.
Sono il cuoco della nazionale!
premetteno che alcuni passaggi non sono riuscito a seguirli.... dove potrei trovare qualche valida guida per risolvere problemi di questo genere ....
un altro esempio
determinare le ultime cinque cifre (cioè quelle delle unità, decine , centinaia , migliaia e decine di migliaia) del numero
5^y dove y=5^5
ps y l'ho scritto io per cercare di rendere leggibile la potenza.
ps2 dovrei riuscire in due settimane a prendere familiarità con questo tipo di problemi....help me...
un saluto
un altro esempio
determinare le ultime cinque cifre (cioè quelle delle unità, decine , centinaia , migliaia e decine di migliaia) del numero
5^y dove y=5^5
ps y l'ho scritto io per cercare di rendere leggibile la potenza.
ps2 dovrei riuscire in due settimane a prendere familiarità con questo tipo di problemi....help me...
un saluto
Considera l'ordine moltiplicativo di 5 modulo 32: per il teorema di struttura
di $ (\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^* $ esso è necessariamente pari
a metà dell'ordine del gruppo, ossia 8. In formule
$ 5^8 \equiv 1\pmod{32} $
$ 5^5 \equiv 5^{13}\pmod{100000} $
Risulta che le ultime 5 cifre di 5^k hanno periodo 8.
Ora, per il piccolo teorema di Fermat
$ 5^5 \equiv 5^1\pmod{8} $
dunque
$ 5^{5^5} \equiv 5^5 \equiv 3125\pmod{100000} $
di $ (\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^* $ esso è necessariamente pari
a metà dell'ordine del gruppo, ossia 8. In formule
$ 5^8 \equiv 1\pmod{32} $
$ 5^5 \equiv 5^{13}\pmod{100000} $
Risulta che le ultime 5 cifre di 5^k hanno periodo 8.
Ora, per il piccolo teorema di Fermat
$ 5^5 \equiv 5^1\pmod{8} $
dunque
$ 5^{5^5} \equiv 5^5 \equiv 3125\pmod{100000} $
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
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.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -