arance!

[oli89]

Si ha un mucchio di arance del peso complessivo di circa una tonnellata. In
media cinque di queste arance pesano circa un chilo. si vogliono ripartire le
arance del mucchio in sacchetti contenenti tutti lo stesso numero di arance.
Ma:
se si formano sacchetti di 8 arance, ne restano 7 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 7 arance, ne restano 6 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 6 arance, ne restano 5 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 5 arance, ne restano 4 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 4 arance, ne restano 3 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 3 arance, ne restano 2 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 2 arance, ne restano 1 per l’ultimo.
Qual è il numero esatto delle arance del mucchio?


Ebbene, l'ho risolto (o meglio, presumo di averlo risolto) con il teorema cinese del resto, ma siccome è la prima volta che lo utilizzo vorrei avere una conferma del risultato.

grazie ciaooo

[ico1989]

Io semplicemente ho notato che, se n è il numero di arance, il numero n + 1 è divisibile per 8, 7, ..., 3, 2. Dunque sicuramente n + 1 ha come fattori primi $ $2^3, 7, 3, 5$ $, cioè è divisibile per 840. Se n deve essere prossimo a 5000, anche n + 1 lo deve essere. Il numero più vicino a 5000 e divisibile per 840 è 5040. Abbiamo allora $ $n = 5039$ $.

Sbaglio qualcosa?

[matteo16]

dovrebbe essere giusto. però aspetta i più esperti

[matteo16]

Si ha un mucchio di arance del peso complessivo di circa una tonnellata. In
media cinque di queste arance pesano circa un chilo. si vogliono ripartire le
arance del mucchio in sacchetti contenenti tutti lo stesso numero di arance.
Ma:
se si formano sacchetti di 8 arance, ne restano 7 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 7 arance, ne restano 6 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 6 arance, ne restano 5 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 5 arance, ne restano 4 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 4 arance, ne restano 3 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 3 arance, ne restano 2 per l’ultimo;
se si formano sacchetti di 2 arance, ne restano 1 per l’ultimo.
Qual è il numero esatto delle arance del mucchio?


Ebbene, l'ho risolto (o meglio, presumo di averlo risolto) con il teorema cinese del resto, ma siccome è la prima volta che lo utilizzo vorrei avere una conferma del risultato.

grazie ciaooo

non ho usato tante volte il teorema cinese del resto però
i moduli dovrebbero essere tutti primi tra loro.
se non sono tutti primi tra loro credo sia fattibile ma diventa più difficile.
secondo me è meglio utilizzare l'intuizione di ico1989
però fatti dire dai più esperti

[String]

Io l'ho inteso così: abbiamo il sistema di congruenze
$ x\equiv -1 \pmod 8 $
$ x\equiv -1 \pmod 7 $
$ x\equiv -1 \pmod 6 $
$ x\equiv -1 \pmod 5 $
$ x\equiv -1 \pmod 4 $
$ x\equiv -1 \pmod 3 $
$ x\equiv -1 \pmod 2 $
Il teorema cinese del resto ci dice che esiste quindi una soluzione modulo $ 8! $. Però il numero x di arance è tale che sottraendo 1 è divisibile per 8,7,6... Questa condizione si realizza perciò prendendo $ 8! $ e sottraendo 1. Sappiamo però che il numero di arance deve essere all'incirca 5000. 8! sta 8 volte in 5000 quindi divido 8! per 5000 e ho 5040 che è ancora divisibile per 8. Quindi il numero di arance è 5039

[matteo16]

Io l'ho inteso così: abbiamo il sistema di congruenze
$ x\equiv -1 \pmod 8 $
$ x\equiv -1 \pmod 7 $
$ x\equiv -1 \pmod 6 $
$ x\equiv -1 \pmod 5 $
$ x\equiv -1 \pmod 4 $
$ x\equiv -1 \pmod 3 $
$ x\equiv -1 \pmod 2 $
Il teorema cinese del resto ci dice che esiste quindi una soluzione modulo $ 8! $. Però il numero x di arance è tale che sottraendo 1 è divisibile per 8,7,6... Questa condizione si realizza perciò prendendo $ 8! $ e sottraendo 1. Sappiamo però che il numero di arance deve essere all'incirca 5000. 8! sta 8 volte in 5000 quindi divido 8! per 5000 e ho 5040 che è ancora divisibile per 8. Quindi il numero di arance è 5039

ma i moduli non devono esseri primi tra loro?

[oli89]

si matteo, infatti applicando il t.c. si ottiene 1469 mod 210
Essendo le arance all'incirca 5000 allora ecco che n=210*17+ 1469=5039

[String]

Io l'ho inteso così: abbiamo il sistema di congruenze
$ x\equiv -1 \pmod 8 $
$ x\equiv -1 \pmod 7 $
$ x\equiv -1 \pmod 6 $
$ x\equiv -1 \pmod 5 $
$ x\equiv -1 \pmod 4 $
$ x\equiv -1 \pmod 3 $
$ x\equiv -1 \pmod 2 $
Il teorema cinese del resto ci dice che esiste quindi una soluzione modulo $ 8! $. Però il numero x di arance è tale che sottraendo 1 è divisibile per 8,7,6... Questa condizione si realizza perciò prendendo $ 8! $ e sottraendo 1. Sappiamo però che il numero di arance deve essere all'incirca 5000. 8! sta 8 volte in 5000 quindi divido 8! per 5000 e ho 5040 che è ancora divisibile per 8. Quindi il numero di arance è 5039

ma i moduli non devono esseri primi tra loro?

Beh, è la prima volta che uso il teorema cinese del resto ma da quanto ne so, i moduli devono essere a due a due coprimi, condizione in questo caso soddisfatta...però può essere anche che mi sbagli, quindi qualcuno più esperto intervenga...

[ico1989]

Non capisco... per esempio, 8 e 6 mica sono coprimi?

[String]

Ripeto, non ne sono sicuro, ma se devono essere a due a due coprimi allora si può dire che 8 è coprimo con 7, 7 è coprimo con 6 ,6 è coprimo con 5,e così via...è più chiaro ora? Attendo comunque una conferma o smentita da chi ne sa di più...

[ico1989]

Ah, io avevo inteso tutte le possibili coppie

[oli89]

a quanto ne so io, i moduli m1,m2,...,mk devono essere a due a due relativamente coprimi, ovvero (mi,mj) diverso da 1 per qualunque i diverso da j
Ergo, tutte le soluzioni non sono modulo 8! bensì modulo 210.
scusate ma ancora nn so usare il latex

[julio14]

Recitano le Sacre Scritture:

$ x\equiv a_1\pmod {m_1} $
$ x\equiv a_2\pmod {m_2} $
.
.
.
$ x\equiv a_k\pmod {m_k} $

Teorema Cinese del resto Supponiamo che gli interi $ m_1,\dots,m_k $ siano a due a due relativamente primi (cioè $ (m_i,m_j)=1 $ per ogni $ i\neq j; i,j\in\{1,\dots,k\} $). Allora qualunque siano gli interi $ a_j,\dots, a_k $, il sistema di congruenze scritto sopra ammette un'unica soluzione modulo $ m_1\cdot...\cdot m_k $.

[ico1989]

il sistema di congruenze scritto sopra ammette un'unica soluzione modulo $ m_1\cdot\dots\cdot m_k $.

Precisamente, questo vuol dire per caso $ x = h(m_1\cdot\dots\cdot m_k) $ o qualcosa di simile?

[julio14]

No, semplicemente dice che $ x\equiv y\pmod{(m_1\cdot...\cdot m_k)} $ ha una sola soluzione in y.