Un disco metallico sottilissimo di massa m ed area A giace su un piano conduttore
infinito.
Un campo gravitazionale uniforme è orientato perpendicolarmente al piano
e preme il disco contro il piano stesso. Inizialmente disco e piano sono
scarichi, poi si aggiunge lentamente carica al sistema. Quale valore di densità
superficiale di carica σ è appena sufficiente a far sì che il disco si sollevi
dal piano?
Disco metallico e piano conduttore infinito
-
quicktimeplayers
- Messaggi: 73
- Iscritto il: 22 dic 2007, 11:36
- Località: La Higuera
Niente, semplicemente credo sia da intedere che da un certo istante in poi i due corpi possiedono una certa carica, positiva o negativa non importa. Almeno così ho capitoquicktimeplayers ha scritto:Interessante...
Però non ho capito bene che significa "aggiungere carica al sistema"... Me lo poteresti spiegare?
Grazie,
Au revoir...
-
quicktimeplayers
- Messaggi: 73
- Iscritto il: 22 dic 2007, 11:36
- Località: La Higuera
Ma scusa... se il piano infinito è conduttore (immagino ideale, ma non è così importante), se io do carica al disco per induzione elettrostatica, sulla parte del piano adiacente col disco stesso, si accumula una carica del segno opposto della carica del disco... Questo significa che il piano attrae il disco e non viceversa...ico1989 ha scritto:Niente, semplicemente credo sia da intedere che da un certo istante in poi i due corpi possiedono una certa carica, positiva o negativa non importa. Almeno così ho capito
Dunque il disco non si solleva, anzi! rimane ancora più saldamente attaccato...
O mi sfugge qualcosa di grosso (e dovrebbe essere veramente grosso) oppure non ho capito il funzionamento del sistema...
Potresti dirmi come l'hai risolto così capisco?
grazie
Non so, per esempio poni a contatto il sistema con un corpo carico positivamente: alcuni elettroni del sistema si spostano sul corpo carico e sul sitema risulta una carica netta positiva.
Comunque sia, tu fai che da un certo istante in poi il sistema sia carico, poi a caricarlo ci pensa chi ha ideato il problema
(Almeno io così l'ho inteso)
Dunque, il disco e il piano si respingono, possedendo una carica dello stesso segno.
Il campo elettrico E in punto prossimità della superficie del piano conduttore è perpendicolare alla superficie e d'intensità: $ $E = \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}}$ $, essendo sigma la densità superficiale di carica del piano in quel punto.
Sul disco, in corrispondenza di questo punto, una carica dq è soggetta ad una forza elettrica di repulsione d'intensità: $ $ dF = dq E$ $. dq è data dal prodotto della densità superficiale di carica del disco per l'area che questa carica occupa sul disco stesso: $ $ dF = E \sigma_{disco}dA $ $
Ora, data la simmetria piana del sistema, si può supporre che la densità superficiale di carica sia costante sia per il piano che per il disco. Inoltre, per lo stesso motivo, non vedo ragione perché non debba essere $ \sigma_{piano} = \sigma_{disco} = \sigma $
Allora, integrando l'equazione precedente si ha:
$ $\int dF = \int E \sigma_{disco}dA = \int \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}} \sigma_{disco} dA = $ $
$ $= \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}} \sigma_{disco} \int dA = \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}} \sigma_{disco} A = $ $
$ $ = \frac{\sigma^2}{\epsilon_{0}} A = F$ $.
Deve quindi essere F - mg = 0, dove g è l'accelerazione del campo di gravità. Abbiamo allora $ $ \frac{\sigma^2}{\epsilon_{0}} A = mg$ $
$ $ \sigma = \pm \sqrt{\epsilon_{0} \frac{mg}{A}}$ $
Se vogliamo, $ $\sigma = \pm \sqrt{\epsilon_{0} p}$ $ dove p è, in assenza di carica, la pressione del disco sul piano dovuta alla gravità
Non so se si trova, ma mi sembra ragionevole come procedimento
Comunque sia, tu fai che da un certo istante in poi il sistema sia carico, poi a caricarlo ci pensa chi ha ideato il problema
(Almeno io così l'ho inteso)Dunque, il disco e il piano si respingono, possedendo una carica dello stesso segno.
Il campo elettrico E in punto prossimità della superficie del piano conduttore è perpendicolare alla superficie e d'intensità: $ $E = \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}}$ $, essendo sigma la densità superficiale di carica del piano in quel punto.
Sul disco, in corrispondenza di questo punto, una carica dq è soggetta ad una forza elettrica di repulsione d'intensità: $ $ dF = dq E$ $. dq è data dal prodotto della densità superficiale di carica del disco per l'area che questa carica occupa sul disco stesso: $ $ dF = E \sigma_{disco}dA $ $
Ora, data la simmetria piana del sistema, si può supporre che la densità superficiale di carica sia costante sia per il piano che per il disco. Inoltre, per lo stesso motivo, non vedo ragione perché non debba essere $ \sigma_{piano} = \sigma_{disco} = \sigma $
Allora, integrando l'equazione precedente si ha:
$ $\int dF = \int E \sigma_{disco}dA = \int \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}} \sigma_{disco} dA = $ $
$ $= \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}} \sigma_{disco} \int dA = \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}} \sigma_{disco} A = $ $
$ $ = \frac{\sigma^2}{\epsilon_{0}} A = F$ $.
Deve quindi essere F - mg = 0, dove g è l'accelerazione del campo di gravità. Abbiamo allora $ $ \frac{\sigma^2}{\epsilon_{0}} A = mg$ $
$ $ \sigma = \pm \sqrt{\epsilon_{0} \frac{mg}{A}}$ $
Se vogliamo, $ $\sigma = \pm \sqrt{\epsilon_{0} p}$ $ dove p è, in assenza di carica, la pressione del disco sul piano dovuta alla gravità
Non so se si trova, ma mi sembra ragionevole come procedimento
-
quicktimeplayers
- Messaggi: 73
- Iscritto il: 22 dic 2007, 11:36
- Località: La Higuera
E allora se c'è scambio di carica fra i due oggetti, siccome la capacità del sistema piano conduttore infinito-disco è infinita a sua volta, tutta la carica presente sul disco passa totalmente al piano conduttore che è infinitamente più grande del disco stesso.Desh ha scritto: No, i due oggetti sono a contatto
Il bilancio della carica è nullo e si ritorna al punto di partenza e l'esercizio non avrebbe senso...
-
quicktimeplayers
- Messaggi: 73
- Iscritto il: 22 dic 2007, 11:36
- Località: La Higuera
Ogni sistema fisico tende al minimo energetico.
Le coppie di cariche (uguali) tendono a disporsi sulla superficie del sistema (parliamo di conduttori) in modo da massimizzare la distanza reciproca e dunque minimizzare l'energia potenziale.
Maggiore è l'area a disposizione delle cariche, maggiore la distanza reciproca, minore sarà l'energia del sistema.
Essendo a contatto i due corpi, le cariche si distribuiscono su un'area $ A_{piano} + A_{disco} $ che è maggiore di $ A_{piano} $ (Del disco io considero 1) la superficie che "guarda in su", 2) la superficie a contatto con il piano, che è un unico con la porzione di piano di area A che occupa. Se invece si vuole considerare separate anche queste ultime due superfici mi sa che la forza di repulsione raddoppia, voi che dite?)
Metodo meno fisico più furbo?
Le coppie di cariche (uguali) tendono a disporsi sulla superficie del sistema (parliamo di conduttori) in modo da massimizzare la distanza reciproca e dunque minimizzare l'energia potenziale.
Maggiore è l'area a disposizione delle cariche, maggiore la distanza reciproca, minore sarà l'energia del sistema.
Essendo a contatto i due corpi, le cariche si distribuiscono su un'area $ A_{piano} + A_{disco} $ che è maggiore di $ A_{piano} $ (Del disco io considero 1) la superficie che "guarda in su", 2) la superficie a contatto con il piano, che è un unico con la porzione di piano di area A che occupa. Se invece si vuole considerare separate anche queste ultime due superfici mi sa che la forza di repulsione raddoppia, voi che dite?)
Metodo meno fisico più furbo?
QualE valorE di densità superficiale di carica σ E' appena sufficiente...
-
quicktimeplayers
- Messaggi: 73
- Iscritto il: 22 dic 2007, 11:36
- Località: La Higuera
[quote="ico1989"]Ogni sistema fisico tende al minimo energetico.
Le coppie di cariche (uguali) tendono a disporsi sulla superficie del sistema (parliamo di conduttori) in modo da massimizzare la distanza reciproca e dunque minimizzare l'energia potenziale.
Maggiore è l'area a disposizione delle cariche, maggiore la distanza reciproca, minore sarà l'energia del sistema.[quote="ico1989"]
Io sono daccordo con la tua soluzione al caso di un condensatore a facce piane parallele in cui vengono trascurati gli effetti di bordo...
Però ribadisco che il problema così posto non può risolversi in questo modo...
Le coppie di cariche (uguali) tendono a disporsi sulla superficie del sistema (parliamo di conduttori) in modo da massimizzare la distanza reciproca e dunque minimizzare l'energia potenziale.
Maggiore è l'area a disposizione delle cariche, maggiore la distanza reciproca, minore sarà l'energia del sistema.[quote="ico1989"]
Io sono daccordo con la tua soluzione al caso di un condensatore a facce piane parallele in cui vengono trascurati gli effetti di bordo...
Però ribadisco che il problema così posto non può risolversi in questo modo...