Con riferimento a un sistema cartesiano ortogonale Oxy si scriva l’equazione
di una retta r tale che la simmetria assiale rispetto ad r trasformi il punto
F(0,1) in un punto F’ che appartenga all’asse x. Si dimostri che l’insieme di
queste rette coincide con l’insieme delle tangenti a una stessa parabola, di
cui si scriva l’equazione.
Simmetria assiale e tangenti ad una parabola
La mancanza di risposte è forse dovuta al fatto che il quesito non ha
molto di gara olimpionica e sembra più una via di mezzo tra un
esercizio da liceo ed uno di (piccola) geometria differenziale.
Se proprio interessa ecco una possibile soluzione.
Sia F'(a,0).Per a=0 la retta r ha equazione $ \displaystyle y=\frac{1}{2} $
Per a non nullo, il coefficiente angolare di FF' è:
$ \displaystyle m_{FF'}=\frac{1-0}{0-a}=-\frac{1}{a} $
Inoltre il punto medio di FF' è:
$ \displaystyle M(\frac{a}{2},\frac{1}{2}) $
Pertanto l'equazione della generica retta r ( asse di FF') è:
$ \displaystyle y-\frac{1}{2}=a(x-\frac{a}{2}) $
La parabola richiesta non è altro che l'inviluppo ( se non ricordo male !!!) delle rette r
al variare di a e la sua equazione si ottiene eliminando il parametro a dal sistema:
$ \begin{cases} \displaystyle y-\frac{1}{2}=a(x-\frac{a}{2})\\ 0=x-a\\ \end{cases} $
dove la seconda equazione del sistema rappresenta la "derivata " della
prima equazione del medesimo sistema rispetto alla variabile a.
Ne segue che l'inviluppo richiesto è appunto la parabola di equazione:
$ \displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2} $
Forse è possibile fare a meno del concetto di inviluppo seguendo una via
senza derivate ma francamente non mi ci sono soffermato più di tanto.
karl
molto di gara olimpionica e sembra più una via di mezzo tra un
esercizio da liceo ed uno di (piccola) geometria differenziale.
Se proprio interessa ecco una possibile soluzione.
Sia F'(a,0).Per a=0 la retta r ha equazione $ \displaystyle y=\frac{1}{2} $
Per a non nullo, il coefficiente angolare di FF' è:
$ \displaystyle m_{FF'}=\frac{1-0}{0-a}=-\frac{1}{a} $
Inoltre il punto medio di FF' è:
$ \displaystyle M(\frac{a}{2},\frac{1}{2}) $
Pertanto l'equazione della generica retta r ( asse di FF') è:
$ \displaystyle y-\frac{1}{2}=a(x-\frac{a}{2}) $
La parabola richiesta non è altro che l'inviluppo ( se non ricordo male !!!) delle rette r
al variare di a e la sua equazione si ottiene eliminando il parametro a dal sistema:
$ \begin{cases} \displaystyle y-\frac{1}{2}=a(x-\frac{a}{2})\\ 0=x-a\\ \end{cases} $
dove la seconda equazione del sistema rappresenta la "derivata " della
prima equazione del medesimo sistema rispetto alla variabile a.
Ne segue che l'inviluppo richiesto è appunto la parabola di equazione:
$ \displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2} $
Forse è possibile fare a meno del concetto di inviluppo seguendo una via
senza derivate ma francamente non mi ci sono soffermato più di tanto.
karl
Una proprietà della parabola è spesso ricordata in relazione agli specchi ustori di Archimede: se il raggio incidente è parallelo all’asse, il raggio riflesso passa per il fuoco F; geometricamente, i due raggi formano angoli uguali con la normale e perciò con la tangente nel punto di incidenza P. Ne consegue che, prolungando il raggio incidente fino ad incontrare in H la direttrice della parabola, la tangente è bisettrice dell’angolo FPH. Per definizione di parabola, il triangolo FPH è isoscele, quindi la tangente è anche asse di FH: H è il simmetrico di F, indicato come F’ nel testo. Le rette date sono quindi tutte tangenti alla parabola che ha F come fuoco e l’asse x come direttrice; la sua equazione è quella data da Karl.
Il precedente ragionamento mostra che quella parabola è una soluzione, ma non che è l’unica. Il testo però non lo richiede esplicitamente, anche se sarebbe certo una risposta migliore.
Il precedente ragionamento mostra che quella parabola è una soluzione, ma non che è l’unica. Il testo però non lo richiede esplicitamente, anche se sarebbe certo una risposta migliore.