Ciao..mi chiedevo se qualcuno voleva aiutarmi..
Si consideri un treno che entra in una galleria e si stimi la variazione
di pressione che si produce nel tratto di galleria in cui è presente il treno,
rispetto alla pressione in assenza del treno. Mostrare come essa dipenda
dal rapporto tra la velocità del treno vt , e la velocità del suono
vs, dalla sezione del treno St , e della sezione della galleria S0. (Si ricordi
che la velocità del suono è legata alla temperatura dalla relazione
vs = (g RT/μ)1/2, dove μ è la massa della grammomolecola di aria e
l’indice adiabatico per l’aria è g =1.41; si consideri l’aria come fluido
perfetto).
Scusate ma non ho imparato a usare Latex.
Grazie
Problema sns
Riesumando topic vecchi (sì, non ho di meglio da fare), tenterò di dare una soluzione.
Tra l'altro ho riguardato il problema originale, quindi riscrivo meglio alcuni dati:
$ v_S=\displaystyle \bigg(\frac{\gamma RT}{\mu}\bigg)^{\frac{1}{2}} $
Per massa della grammomolecola d'aria $ \mu $ ho inteso che $ \mu =\displaystyle \frac{M}{n} $ dove $ M $ è la massa di una "porzione" ( ) d'aria che contiene $ n $ moli.
Ma possiamo anche scrivere $ M=V\rho $.
Andando a sostituire otteniamo: $ v_S^2=\displaystyle \frac{\gamma nRT}{V\rho} $.
Ora, potendo considerare l'aria un gas ideale: $ p_0V=nRT\rightarrow v_S^2=\gamma \displaystyle \frac{p_0}{\rho} $ o meglio, per quel che ci interesserà a noi: $ \rho =\displaystyle \frac{\gamma p_0}{v_S^2} $.
A questo punto consideriamo i due momenti (1) in cui l'aria è libera di scorrere nella galleria, e (2) quello in cui l'aria subisce l'impatto col treno.
(1) La velocità dell'aria è $ v_1 $ e si trova a pressione $ p_1 $.
(2) La velocità relativa treno-aria è $ v_T $, la corrispondente pressione esercitata dall'aria sul treno è $ p_T $.
Per Bernoulli, si ha: $ \displaystyle p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_T+\frac{1}{2}\rho v_T^2 $.
Ora, vale $ S_0\cdot v_1=S_T\cdot v_T $ da cui $ v_1=\displaystyle \frac{S_T\cdot v_T}{S_0} $.
$ \displaystyle p_1+\frac{1}{2}\frac{\gamma p_0}{v_S^2}\bigg(\frac{S_T}{S_0}\bigg)^2v_T^2=p_T+\frac{1}{2} \frac{\gamma p_0}{v_S^2}S_T^2v_T^2 $.
Dunque $ \Delta p=p_T-p_1=\displaystyle \frac{1}{2}\gamma p_0}\cdot \bigg(\frac{v_T}{v_S}\bigg)^2\bigg(\frac{S_T^2-S_0^2}{S_0^2}\bigg) $.
Io mi sto chiedendo perchè ci han dato il valore di $ \gamma $. L'ipotesi è per farci sapere che è roba nota, non da ricavare, sennò sai che casino . Spero di non aver sbagliato troppe cose.
Tra l'altro ho riguardato il problema originale, quindi riscrivo meglio alcuni dati:
$ v_S=\displaystyle \bigg(\frac{\gamma RT}{\mu}\bigg)^{\frac{1}{2}} $
Per massa della grammomolecola d'aria $ \mu $ ho inteso che $ \mu =\displaystyle \frac{M}{n} $ dove $ M $ è la massa di una "porzione" ( ) d'aria che contiene $ n $ moli.
Ma possiamo anche scrivere $ M=V\rho $.
Andando a sostituire otteniamo: $ v_S^2=\displaystyle \frac{\gamma nRT}{V\rho} $.
Ora, potendo considerare l'aria un gas ideale: $ p_0V=nRT\rightarrow v_S^2=\gamma \displaystyle \frac{p_0}{\rho} $ o meglio, per quel che ci interesserà a noi: $ \rho =\displaystyle \frac{\gamma p_0}{v_S^2} $.
A questo punto consideriamo i due momenti (1) in cui l'aria è libera di scorrere nella galleria, e (2) quello in cui l'aria subisce l'impatto col treno.
(1) La velocità dell'aria è $ v_1 $ e si trova a pressione $ p_1 $.
(2) La velocità relativa treno-aria è $ v_T $, la corrispondente pressione esercitata dall'aria sul treno è $ p_T $.
Per Bernoulli, si ha: $ \displaystyle p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_T+\frac{1}{2}\rho v_T^2 $.
Ora, vale $ S_0\cdot v_1=S_T\cdot v_T $ da cui $ v_1=\displaystyle \frac{S_T\cdot v_T}{S_0} $.
$ \displaystyle p_1+\frac{1}{2}\frac{\gamma p_0}{v_S^2}\bigg(\frac{S_T}{S_0}\bigg)^2v_T^2=p_T+\frac{1}{2} \frac{\gamma p_0}{v_S^2}S_T^2v_T^2 $.
Dunque $ \Delta p=p_T-p_1=\displaystyle \frac{1}{2}\gamma p_0}\cdot \bigg(\frac{v_T}{v_S}\bigg)^2\bigg(\frac{S_T^2-S_0^2}{S_0^2}\bigg) $.
Io mi sto chiedendo perchè ci han dato il valore di $ \gamma $. L'ipotesi è per farci sapere che è roba nota, non da ricavare, sennò sai che casino . Spero di non aver sbagliato troppe cose.
Mi convince molto poco l'uso del teorema di bernoulli perchè è valido solo per i fluidi incomprimibili (in cui la velocità del suono è infinita.....)
Quello che succede è che il treno produce un'onda di pressione che si propaga a velocità Vs.
Ho provato a fare un modello che non so quanto sia giusto e ottengo
delta p= (a/(1-a))^gamma dove a è il prodotto tra i rapporti delle sezioni (treno/galleria) e (vt/vs =numero di mach)
La cosa dovrebbe essere poi complicata dalle riflessioni contro le estremità della galleria.
Qualcuno ha la soluzione ufficiale?
Quello che succede è che il treno produce un'onda di pressione che si propaga a velocità Vs.
Ho provato a fare un modello che non so quanto sia giusto e ottengo
delta p= (a/(1-a))^gamma dove a è il prodotto tra i rapporti delle sezioni (treno/galleria) e (vt/vs =numero di mach)
La cosa dovrebbe essere poi complicata dalle riflessioni contro le estremità della galleria.
Qualcuno ha la soluzione ufficiale?
Era scritto di pensare l'aria come fluido perfetto.. ha un altro significato per caso perfetto, rispetto a ideale? Perchè se è ideale è incomprimibile, no?iactor ha scritto:Mi convince molto poco l'uso del teorema di bernoulli perchè è valido solo per i fluidi incomprimibili (in cui la velocità del suono è infinita.....)
Mamma mia che confusione
Purtroppo credo proprio di no, dato che è recente (2001-2002).iactor ha scritto:Qualcuno ha la soluzione ufficiale?