Viva viva le calze (Febbraio)
Viva viva le calze (Febbraio)
Tre paia di calzini, uno rosso, uno blu e uno verde, sono stesi in fila. Sapendo che due calzini dello stesso colore non sono vicini uno all'altro, quante successioni di colori si possono avere?
Proviamo...
Allora il primo calzino lo possiamo scegliere come ci pare, quindi in 3 modi diversi, il secondo di conseguenza in 2 modi diversi e anche il terzo in 2 modi diversi.
Ora però va fatta una precisazione:
- se nei primi 3 calzini ce ne sono 2 uguali (es. RBR) allora i seguenti saranno obbligati
- se nei primi 3 ci sono tutti i colori allora gli ultimi 3 si possono disporre in 4 modi diversi (2 il quarto, 2 il quinto e obbligato il sesto)
Perciò dei primi $ 12\; (3 \cdot 2 \cdot 2) $ casi 6 sono obbligati (primo tipo), mentre gli altri 6 hanno 4 diverse disposizioni a testa quindi
$ 6 \cdot 1 + 6 \cdot 4 = 30 $ casi
Allora il primo calzino lo possiamo scegliere come ci pare, quindi in 3 modi diversi, il secondo di conseguenza in 2 modi diversi e anche il terzo in 2 modi diversi.
Ora però va fatta una precisazione:
- se nei primi 3 calzini ce ne sono 2 uguali (es. RBR) allora i seguenti saranno obbligati
- se nei primi 3 ci sono tutti i colori allora gli ultimi 3 si possono disporre in 4 modi diversi (2 il quarto, 2 il quinto e obbligato il sesto)
Perciò dei primi $ 12\; (3 \cdot 2 \cdot 2) $ casi 6 sono obbligati (primo tipo), mentre gli altri 6 hanno 4 diverse disposizioni a testa quindi
$ 6 \cdot 1 + 6 \cdot 4 = 30 $ casi
Distinguo 3 casi:
Caso1: si hanno solo due calzini di ugual colore consecutivi.
Se la coppia si trova in posizione 1-2, 2-3, 4-5,5-6, si hanno sempre 6 possibili succesioni. Se invece la coppia si trova in posizione 3-4 se ne hanno 12. Totale: 36.
Caso 2: si hanno due paia di calzini dello stesso colore vicini. Abbiamo solo 2 sottocasi: se la prima coppia si trova in posizione 1-2, l'altra coppia potrà stare solo in posizione 4-5, quindi abbiamo 6 possibilità; se invece la prima coppia si trova in posizione 2-3, la seconda coppia potrà stare nelle posizioni 4-5 o 5-6 per un totale di 12 possibilità. Una coppia di calzini dello stesso colore non ptrà stare nella posizione 3-4 perchè dovendo avere anche un'altra coppia di calzini uguali vicini, si avrebbero necessariamente tre coppie di calzini dello stesso colore vicine. Gli altri due sottocasi infine sono compresi nei primi due. Totale:18 possibili successioni
Caso 3: si hanno 3 paia di calzini di ugual colore vicini.In questo caso si hanno solo 3!=6 possibilità.
In totale abbiamo 36+18+6=60 succesioni in cui compare almeno una coppia di calze dello stesso colore.
Caso1: si hanno solo due calzini di ugual colore consecutivi.
Se la coppia si trova in posizione 1-2, 2-3, 4-5,5-6, si hanno sempre 6 possibili succesioni. Se invece la coppia si trova in posizione 3-4 se ne hanno 12. Totale: 36.
Caso 2: si hanno due paia di calzini dello stesso colore vicini. Abbiamo solo 2 sottocasi: se la prima coppia si trova in posizione 1-2, l'altra coppia potrà stare solo in posizione 4-5, quindi abbiamo 6 possibilità; se invece la prima coppia si trova in posizione 2-3, la seconda coppia potrà stare nelle posizioni 4-5 o 5-6 per un totale di 12 possibilità. Una coppia di calzini dello stesso colore non ptrà stare nella posizione 3-4 perchè dovendo avere anche un'altra coppia di calzini uguali vicini, si avrebbero necessariamente tre coppie di calzini dello stesso colore vicine. Gli altri due sottocasi infine sono compresi nei primi due. Totale:18 possibili successioni
Caso 3: si hanno 3 paia di calzini di ugual colore vicini.In questo caso si hanno solo 3!=6 possibilità.
In totale abbiamo 36+18+6=60 succesioni in cui compare almeno una coppia di calze dello stesso colore.
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)