Integrale uguale a.. fattoriale.
Integrale uguale a.. fattoriale.
Un esercizietto carino su un integrale.
Dimostrare che vale
$ $\int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \textrm{d}x=n! $
$ $n\in \mathbb{N}$ $
Spero non se ne sia già parlato, io non l'ho trovato.
Buon lavoro.
Dimostrare che vale
$ $\int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \textrm{d}x=n! $
$ $n\in \mathbb{N}$ $
Spero non se ne sia già parlato, io non l'ho trovato.
Buon lavoro.
Corretti alcuni segni
Uso un procedimento un pò standard..però son curiosa di sapere se c'è qualcosa di più carino
Consideriamo prima $ \displaystyle \int{x^ne^{-x} \ dx} $.
Integro per parti, ottenendo:
$ \displaystyle \int{x^ne^{-x} \ dx}=-x^ne^{-x}+\int{nx^{n-1}e^{-x} \ dx} $.
Posso reiterare il procidimento:
$ \displaystyle \int{nx^{n-1}e^{-x} \ dx}=-nx^{n-1}e^{-x}+\int{n(n-1)x^{n-2}e^{-x} \ dx} $
Fino a ottenere induttivamente che:
$ \displaystyle \int{x^ne^{-x} \ dx}=-\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}e^{-x}+n!e^{-x}= $ $ -e^{-x}\displaystyle \bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg ) $
Tornando al problema originale:
$ \displaystyle \int_{0}^{+\infty}{x^ne^{-x} \ dx}=\bigg[-e^{-x}\displaystyle \bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg )\bigg]_{0}^{+\infty} $.
Ora non resta che da fare la differenza tra i due limiti.
$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} -\bigg(\frac{1}{e}\bigg)^x\bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg )=0 $ (Hopital)
$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}-\bigg(\frac{1}{e}\bigg)^x\bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg )=-n! $
E segue la tesi.
EDIT: chi ha il potere, ha cancellato il doppio messaggio ma_go
Uso un procedimento un pò standard..però son curiosa di sapere se c'è qualcosa di più carino
Consideriamo prima $ \displaystyle \int{x^ne^{-x} \ dx} $.
Integro per parti, ottenendo:
$ \displaystyle \int{x^ne^{-x} \ dx}=-x^ne^{-x}+\int{nx^{n-1}e^{-x} \ dx} $.
Posso reiterare il procidimento:
$ \displaystyle \int{nx^{n-1}e^{-x} \ dx}=-nx^{n-1}e^{-x}+\int{n(n-1)x^{n-2}e^{-x} \ dx} $
Fino a ottenere induttivamente che:
$ \displaystyle \int{x^ne^{-x} \ dx}=-\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}e^{-x}+n!e^{-x}= $ $ -e^{-x}\displaystyle \bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg ) $
Tornando al problema originale:
$ \displaystyle \int_{0}^{+\infty}{x^ne^{-x} \ dx}=\bigg[-e^{-x}\displaystyle \bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg )\bigg]_{0}^{+\infty} $.
Ora non resta che da fare la differenza tra i due limiti.
$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} -\bigg(\frac{1}{e}\bigg)^x\bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg )=0 $ (Hopital)
$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}-\bigg(\frac{1}{e}\bigg)^x\bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg )=-n! $
E segue la tesi.
EDIT: chi ha il potere, ha cancellato il doppio messaggio ma_go
Ultima modifica di EUCLA il 14 lug 2008, 15:31, modificato 3 volte in totale.
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Lol ma non basta integrare per parti una volta? Il primo pezzo fa 0 e l'altro fa n(n-1)!.
Tra l'altro questa è una delle prime proprietà della funzione Gamma
Tra l'altro questa è una delle prime proprietà della funzione Gamma
Scusa, sarebbe norma aprire un altro topic. La discussione qui non mi pare si sia esaurita.stefanos ha scritto:Nessuno? Se continua cosi` domani scrivo la soluzione.
@Eucla:
non mi tornano gli ultimi passaggi, malgrado il risultato torni.
Non ho capito da dove esce il
$ $-n!$ $
tra parentesi, dopo la sommatoria.
E poi perché
$ $\bigg(-\frac{1}{e}\bigg)^x$ $
se all'inizio avevamo
$ $-e^{-x}$ $
Si comportano un po' diversamente, specialmente se x va a zero...
Perdonami, ma adesso mi sfugge da dove prendo n(n-1)!pic88 ha scritto:Lol ma non basta integrare per parti una volta? Il primo pezzo fa 0 e l'altro fa n(n-1)!.
Spero di non aver detto sfondoni data l'ora.
Buonanotte!
Direi specialmente se x e' non intero! (hai radice di un negativo)Goldrake ha scritto:Non ho capito da dove esce il
$ $-n!$ $
tra parentesi, dopo la sommatoria.
E poi perché
$ $\bigg(-\frac{1}{e}\bigg)^x$ $
se all'inizio avevamo
$ $-e^{-x}$ $
Si comportano un po' diversamente, specialmente se x va a zero...
Quell'integrale e' un classico da fare per parti
$ $\int_0^\infty x^ne^{-x} \textrm{d}x=\left.-x^ne^{-x}\right|_0^\infty+n\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x} \textrm{d}x$ $
a dx, il primo termine fa zero, il secondo e' il termine di partenza con esponenete ridotto di 1 e moltiplicato per l'esponente precedente, ergo
$ $\int_0^\infty x^ne^{-x} \textrm{d}x=n!\int_0^\infty x^0e^{-x} \textrm{d}x=n!$ $
Stefanos, aspetta almeno un paio di gg prima di postare la soluzione. dai il tempo agli altri di affrontare il problema.
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
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Effettivamente qualcosa che non torna c'è. Però non riesco a vedere cosa (mi sa che la fisica mi sta dando alla testa )Goldrake ha scritto: tra parentesi, dopo la sommatoria.
E poi perché
$ $\bigg(-\frac{1}{e}\bigg)^x$ $
se all'inizio avevamo
$ $-e^{-x}$ $
Si comportano un po' diversamente, specialmente se x va a zero...
Sapresti come rimediarlo?
Penso che questo sia uno di quei casi in cui si è compiuto una quantità pari di errori, quindi il risultato ti è venuto ugualmente
A me viene
$ $\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\textrm{d}x=-e^{-x}(x^n+nx^{n-1}+n(n+1)x^{n-2}+...+n!x+n!) $
Quindi facendo il limite a $ $+\infty$ $ ho zero, facendolo a zero ho -n!.
Quando tu dici "posso reiterare il procedimento" dovresti ottenere tutti termini con segno meno, non so perché dentro la tua parentesi compare quel -n! dopo la sommatoria, che quindi diventa positivo se vai a fare la moltiplicazione con $ $-e^{-x}$ $
Prova a dare un'aggiustatina dentro la parentesi e correggi la svista dell'esponenziale, poi fammi sapere se la mia forma è giusta, visto che spesso ho difficoltà a usare ragionamenti "iterati".
Ciao!
ps: Grazie a Skz, ho capito.
A me viene
$ $\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\textrm{d}x=-e^{-x}(x^n+nx^{n-1}+n(n+1)x^{n-2}+...+n!x+n!) $
Quindi facendo il limite a $ $+\infty$ $ ho zero, facendolo a zero ho -n!.
Quando tu dici "posso reiterare il procedimento" dovresti ottenere tutti termini con segno meno, non so perché dentro la tua parentesi compare quel -n! dopo la sommatoria, che quindi diventa positivo se vai a fare la moltiplicazione con $ $-e^{-x}$ $
Prova a dare un'aggiustatina dentro la parentesi e correggi la svista dell'esponenziale, poi fammi sapere se la mia forma è giusta, visto che spesso ho difficoltà a usare ragionamenti "iterati".
Ciao!
ps: Grazie a Skz, ho capito.
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Ipotesi induttiva?Goldrake ha scritto:Perdonami, ma adesso mi sfugge da dove prendo n(n-1)!pic88 ha scritto:Lol ma non basta integrare per parti una volta? Il primo pezzo fa 0 e l'altro fa n(n-1)!.
Prendiamo l'integrale di Eucla(-Riemann) e "definiamolo" tra 0 e infinito:
$ \displaystyle \int_0^{+\infty}{x^ne^{-x} \ dx}=[-x^ne^{-x}]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}{nx^{n-1}e^{-x} \ dx} = $
$ 0 + n\int_0^{+\infty}{x^{n-1}e^{-x} \ dx} = n(n-1)!=n! $.
Chiaro! Grazie, correggo subito .Goldrake ha scritto:Penso che questo sia uno di quei casi in cui si è compiuto una quantità pari di errori, quindi il risultato ti è venuto ugualmente
A me viene
$ $\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\textrm{d}x=-e^{-x}(x^n+nx^{n-1}+n(n+1)x^{n-2}+...+n!x+n!) $
Quindi facendo il limite a $ $+\infty$ $ ho zero, facendolo a zero ho -n!.
Quando tu dici "posso reiterare il procedimento" dovresti ottenere tutti termini con segno meno, non so perché dentro la tua parentesi compare quel -n! dopo la sommatoria, che quindi diventa positivo se vai a fare la moltiplicazione con $ $-e^{-x}$ $
Prova a dare un'aggiustatina dentro la parentesi e correggi la svista dell'esponenziale, poi fammi sapere se la mia forma è giusta, visto che spesso ho difficoltà a usare ragionamenti "iterati".
Comunque, per l'esponenziale..l'errore è il meno che è rimasto dentro la parentesi, ma il resto ti torna, o no?
Si ok, a postopic88 ha scritto:Ipotesi induttiva?
Grazie.
Un'altra cosa: tu scrivi.l'errore è il meno che è rimasto dentro la parentesi, ma il resto ti torna, o no?
$ -e^{-x}\displaystyle \bigg(\sum_{i=0}^{n}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg ) $
Secondo me quel
$ $n!$ $
alla fine è di troppo, perché è già contenuto nella sommatoria. In particolare è l'ultimo addendo, quello che ottieni per
$ $i=n$ $
Quindi o togli n! o sennò fai arrivare la sommatoria fino a n-1.
Fatto ciò, ottieni l'espressione mia.
Ti torna?
Ciao.