Somme irrazionali

[edriv]

Dimostrare che, se $ ~ A \subset \mathbb{R}^+ $ è numerabile, esiste $ ~ B \subset \mathbb{R}^+ $ numerabile tale che:
- la somma degli elementi di B converge
- la somma degli elementi di ogni sottoinsieme di B non è un elemento di A.

Inventato da me, non che sia una gran cosa

[edriv]

up, dai!

[Desmo90]

Allora visto che A è numerabile esso deve avere un elemento minimo, chiamiamola $ \alpha $, maggiore di zero per ipotesi

se $ \alpha $ è irrazionale
Costruiamo una progressione geometrica di elemento iniziale $ $ \frac{\beta}{2} $, dove $ \beta $è il più grande numero razionale minore di $ \alpha $, e ragione$ $\frac{1}{2}. $la somma della serie geometrica è$ \beta $.

Quindi visto che gli elementi della progressione sono razionali possiamo scegliere B avente come elementi tutti gli elementi della progressione geomatrica di termine iniziale $ \frac{\beta}{2} $ e ragione $ \frac{1}{2}, $, Si vede che questo insieme soddisfa tutte le condizioni.

se $ \alpha $ è razionale
basta prendere$ $\beta=\frac{\alpha}{2} $ e iniziare a prendere gli elementi di B dal secondo termine della progressione.

[EvaristeG]

E quale elemento minimo ha l'insieme dei razionali positivi e non nulli?
O dell'insieme degli elementi della forma a/n con a positivo reale e n positivo intero?

[Desmo90]

Allora visto che A è numerabile esso deve avere un elemento minimo, chiamiamola $ \alpha $, maggiore di zero per ipotesi

E quale elemento minimo ha l'insieme dei razionali positivi e non nulli?
O dell'insieme degli elementi della forma a/n con a positivo reale e n positivo intero?

è vero,mi accorgo che la mia afferamzione è sbagliata

[Carlein]

Passavo da queste parti perchè avevo letto un enunciato che me ne ricordava uno dell'età di questo post,e mi sono imbattuto in questo problema sfizioso(questo per giustificare la necrofilia di un vegliardo ). Mi sa di averlo risolto. L'idea è di risolvere un enunciato molto simile per le parti di N(precisamente la Conseguenza2), e trasformarla poi,tramite la rapprezsentazione binaria,nell'enunciato di edriv,con qualche accorgimento perchè ci sono alcuni casi(tra le parti a complementare finito e parti finite) di non iniettività di questa trasformazione. Una volta garantitici(alla fine della soluzione)che gli insiemi costruiti non stanno in questi casi avremo una trasformazione esatta della Conseguenza2 nel problema di edriv.
Fatto
Sia J un insieme numerabile. Allora esiste una famiglia F continua,di sigma algebre continue su sottoinsiemi di J,a due a due disgiunte(cioè che non hanno parti non vuote in comune).
Difatti possiamo rappresentare J come $ \mathbb{N}^2 $. Prendiamo una parte non vuota di $ \mathbb{N} $, P. Le associamo la sigma algebra dei sottoinsiemi $ AXP $ con A generico sottoinsieme di $ \mathbb{N} $. E' chiaro che se due parti sono diverse le sigma algebre associate non hanno parti in comune.
Conseguenza1
Se ho una famiglia numerabile H di parti di J,esiste una sigma algebra continua che non ha parti in comune con J.
Difatti prendendo la famiglia F di prima, ogni elemento di H sta al più in un elemento di F,quindi ne restano continui elementi di F che non contengono nessun elemento di H.
Conseguenza2
Prendiamo ora un elemento di F come sopra,diciamo T. T è generato da numerabili parti a due due disgiunte di J. Chiamiamo queste parti $ A_i, i \in \mathbb{N} $
Abbiamo quindi trovato una famiglia numerabile di parti di J a due a due disgiunte,per cui l'unione qualunque di un pò di esse non è un elemento di H.
Problema di edriv
Prendiamo gli elementi di B dentro [0,1](come si vedrà gli altri sono esclusi subito). Rappresentiamoli in forma binaria. Associamo ad ogni sviluppo binario una parte di $ \mathbb{N} $ al solito modo. Questo dà una famiglia H,nella notazioni di su, prendiamo i corrispettivi $ A_i $ e rileggiamoli come sviluppi binari. Questo sarà,quasi,il nostro A. Difatti la serie complessiva è minore di 1. Essendo disgiunti gli insiemi l'unione viene mandata nella somma di elementi di A. Quindi il fatto che non c'è mai una unione di $ A_i $ che sta in H, si trasforma nel fatto che una somma di elementi di A ha rappresentazione binaria diversa da quella di un elemento di B. C'è solo ancora un piccolo inconveniente:quando mandiamo le parti di N in sviluppi binari questa cosa non è proprio iniettiva,gli unici casi di non iniettività sono quando ho definitivamente 1 contro un opportuno definitivamente 0. Basta dunque che facciamo vedere che non abbiamo mai questi casi. Difatti se seghiamo via a caso uno degli $ A_i $ abbiamo ancora una famiglia che va bene,ma ogni loro unione ha sviluppo binario con infiniti zeri(i posti di quello segato) quindi non può succedere che una somma di A abbia definitivamente 1 contro una somma di B con definitivamente 0,perchè il primo dei due casi non si presenta. L'altro caso sarebbe un elemento in B con definitivamente 1 contro uno di A con definitivamente 0. A questo proposito basta notare che possiamo sempre fare in modo che gli $ A_i $ siano tutti infiniti(scegliendo nel fatto solo parti P infinite,che sono continue) il che implica che una generica unione non ha mai definitivamente 0,cosicchè il secondo caso non si presenta mai. Quindi le somme di A sono numeri che hanno sviluppi binari che non coincidono mai con quelli degli elementi di B e non si trovano mai nei possibili casi di ambiguità in cui nonostante questo ci sia un uguaglianza. Quindi A ottenuto dagli sviluppi binari degli $ A_i $ con i che varia tra i naturali eccetto un certo indice scelto a caso,vanno di certo bene.
Ciaociao