Un altro polinomio!

[String]

Dal giornalino della matematica:

Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti interi che ha almeno 13 soluzioni intere distinte. Dimostrare che se $ n $ è un numero intero e $ p(n) \neq 0 $ allora $ |p(n)| \ge (6!)^2 \cdot 7 $
Dire se è possibile che si verifichi l'uguaglianza.

[mod_2]

Dal giornalino della matematica:

Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti interi che ha almeno 13 soluzioni intere distinte. Dimostrare che se $ n $ è un numero intero e $ p(n) \neq 0 $ allora $ |p(n)| \ge (6!)^2 \cdot 7 $
Dire se è possibile che si verifichi l'uguaglianza.

Siano $ \displaystyle a_1...a_{13} $ le tredici soluzioni intere distinte di $ \displaystyle p(x) $, quindi

$ \displaystyle p(x)=(x-a_1)\cdot(x-a_2)\cdot...\cdot(x-a_{13})\cdot r(x) $

$ \displaystyle |p(x)| = |(x-a_1)| \cdot |(x-a_2)| \cdot...\cdot |(x-a_{13})| \cdot |r(x)| $

Per Ruffini r(x) è ancora intera e quindi $ \displaystyle |r(x)| \ge 1 $ segue che

$ \displaystyle |p(x)| \ge |(x-a_1)| \cdot |(x-a_2)| \cdot...\cdot |(x-a_{13})| $

Sostituendo n

$ \displaystyle |p(n)| \ge |(n-a_1)| \cdot |(n-a_2)| \cdot...\cdot |(n-a_{13})| $

n deve essere diverso dai $ \displaystyle a_i $, e quindi tutti i $ \displaystyle (n-a_i) $ sono diversi fra di loro e diversi da 0.
Però può capitarci i $ \displaystyle (n-a_i) $ che sono a due a due opposti fra di loro, e quindi il minimo che possiamo realizzare, considerando il valore assoluto, è $ \displaystyle 1\cdot 1\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 4\cdot 5\cdot 5\cdot 6\cdot 6\cdot 7=(6!)^2\cdot 7 $ da cui la tesi.

L'uguaglianza si realizza naturalmente con $ \displaystyle n=0 $e $ \displaystyle a_1=1 $, $ \displaystyle a_2=-1 $, $ \displaystyle a_3=2 $, ...$ \displaystyle a_{13}=7 $

[travelsga]

provo a risolverlo io (scusate, ma non so utilizzare ancora il latex)
|p(n)|=|(n-a1)(n-a2)...(n-a13)q(n)|, ora suddivido gli n-ai in questo modo: i positivi che sono h da una parte, i negativi che sono 13-h dall'altra. Adesso i valori assoluti dei positivi sono sicuramente distinti tra loro ciò accade anche per i negativi. Si sa che il prodotto di h interi positivi distinti è >=h! qundi
|p(n)|>=h!*(13-h)! che vogliamo maggiore di 6!*7!, ma ciò è vero in quanto i coefficienti centrali della 13-esima riga del triangolo di tartaglia corrispondenti a 13 su 6 e 13 su 7 sono maggiori di tutti gli altri. l'uguaglianza è verificata quando il prodotto degli n-ai positivo è uguale a 7! oppure 6! ,mentre quello dei negativi è pari a 6! oppure 7! rispettivamente e q(n)=+1,-1. spero di essere stato chiaro e di non aver commesso nessun erroraccio.