:Dimostrare che se $ n $ e $ m $ sono interi tali che $ 3n^2+n=4m^2+m $ allora $ n-m $ è un quadrato perfetto.
buon lavoro!
Simpatico problemuzzo iraniano(primo round)
Simpatico problemuzzo iraniano(primo round)
Io l'ho trovato divertente;spero vi divertiate anche voi,non è nè difficile nè però meccanico o stupido(nella mia umile opinione),quindi non è destinato a nessun livello in particolare, ma un pò a tutti :
Dimostrare che se $ n $ e $ m $ sono interi tali che $ 3n^2+n=4m^2+m $ allora $ n-m $ è un quadrato perfetto.
buon lavoro!
:Dimostrare che se $ n $ e $ m $ sono interi tali che $ 3n^2+n=4m^2+m $ allora $ n-m $ è un quadrato perfetto.
buon lavoro!
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
Innanzitutto riscrivo l’uguaglianza:
3n^2-3m^2+n-m=m^2
(3n+3m)*(n-m)+(n-m)=m^2
(3n+3m+1)*(n-m)=m^2.
Dimostriamo che non può essere (3n+3m+1,n-m)=d, con d diverso da 1.
Se così fosse, avremmo che d^2 divide (3n+3m+1)*(n-m)=m^2, ovvero d divide m.
Sappiamo che (3n+3m+1,m) divide (3n+1,m) e (n-m,m) divide (n,m). Inoltre ((3n+1,m),(n,m))=1 (perché un’eventuale divisore comune di (3n+1,m) e (n,m) dovrebbe dividere 3n +1 e n, impossibile).
Combinando le due cose si ottiene che ((3n+3m+1,m),(n-m,m))=1. Ma sopra avevamo detto che d divideva 3n+3m+1, n-m, ed m, il che implicherebbe che d divida ((3n+3m+1,m),(n-m,m)).
Dunque d=1; 3n+3m+1 e n-m sono primi tra loro e, essendo il loro prodotto è un quadrato, sono entrambi quadrati.
3n^2-3m^2+n-m=m^2
(3n+3m)*(n-m)+(n-m)=m^2
(3n+3m+1)*(n-m)=m^2.
Dimostriamo che non può essere (3n+3m+1,n-m)=d, con d diverso da 1.
Se così fosse, avremmo che d^2 divide (3n+3m+1)*(n-m)=m^2, ovvero d divide m.
Sappiamo che (3n+3m+1,m) divide (3n+1,m) e (n-m,m) divide (n,m). Inoltre ((3n+1,m),(n,m))=1 (perché un’eventuale divisore comune di (3n+1,m) e (n,m) dovrebbe dividere 3n +1 e n, impossibile).
Combinando le due cose si ottiene che ((3n+3m+1,m),(n-m,m))=1. Ma sopra avevamo detto che d divideva 3n+3m+1, n-m, ed m, il che implicherebbe che d divida ((3n+3m+1,m),(n-m,m)).
Dunque d=1; 3n+3m+1 e n-m sono primi tra loro e, essendo il loro prodotto è un quadrato, sono entrambi quadrati.
La mia prova nasce dalla mia pigrizia di dimostrare la coprimalità dei fattori di $ m^2 $ che è un'ottima condizione sufficente per concludere come ha fatto nicelbole, e dunque sorvola su questo fatto a questo modo $ n-m=3(m-n)(n+m)+m^2 $ $ = 4(m-n)(n+m)+n^2 $ da cui ricaviamo queste due scritture $ (n-m)(4(n+m)+1)=n^2 $ e $ (n-m)(3(n+m)+1)=m^2 $ ora è facile vedere che $ (4(n+m)+1,3(n+m)+1)=1 $ che implica la tesi,difatti se uno dei fattori di n-m avesse esponente dispari questo fattore(col suo esponente dispari) verrebbe conservato in uno dei due prodotti...
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
si nessun abbaglio,e se non l ho preso nemmeno io si può dare un'altra piccola bottarella di generalità: si mette invece che (a) e (a+1) come coefficenti...a e (a+k^2) imponendo $ (k^2(m+n),a(m+n)+1)=1 $ che significa $ (k^2,a(m+n)+1)=1 $ allora le conclusioni su (n-m) e ovviamente quindi sugli altri due fattori "quadratici" sono le stesse
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"