Problemino semplice

[alessio]

Dato un quadrato ABCD ed un suo punto interno E tale che gli angoli ECB ed EBC siano di 15°, dimostrare che il triangolo ADE è equilatero.

[gabri]

Con la goniometria è praticamente istantaneo:
Si trova l'altezza del triangolo isoscele BCE e si scopre che è uguale al lato del quadrato meno l'altezza del triangolo equilatero ADE!

[bestiedda]

e se uno non avesse la calcolatrice?

[fede90]

e se uno non avesse la calcolatrice?

Si fanno un po' di conti!

Detto $ $l$ $ il lato del quadrato e detta $ $EH$ $ l'altezza di $ $\triangle BCE$ $ si ha, per il teorema dei seni, $ $EH=\frac{l\sin 15°}{2\sin 75°}$ $. Usando la formula di bisezione sul seno di 30° (e usando poi la formula per i radicali doppi) otteniamo $ $\sin 15°=\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}$ $. Con la formula fondamentale si ricava poi il coseno di 15°, e quindi $ $\sin 75°=\sin (90°-15°)=\cos 15°=\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4}$ $. Sostituendo si ottiene poi $ $EH=l-\frac{\sqrt 3}{2}l$ $.

[String]

Allora, ci provo senza goniometria. sapendo quei due angoli, si deduce che BEC misura 150°. Il triangolo BEC è quindi isoscele e perciò EC=BE. Gli angoli DCE e EBA sono congruenti e valgono 90°meno15°=75°- Inoltre DC=AB perchè lati del quadrato. Da ciò si deduce che i triangoli ABE e DCE sono congruenti per il primo criterio e quindi sono congruenti anche i lati DE e AB e di conseguenza anche gli angoli EDA e EAD. Detto x l'angolo BEA e y l'angolo AED scrivo l'equazione: 360-150-2x=180-2y da cui risolvendo si ha 15=x-y. Inoltre posso scrivere anche l'equazione 150+2x+y=360 da cui sostituendo a y il valore trovato prima si ha x=75 e quindi y che è l'angolo AED è di 60°. Poichè prima avevamo trovato anche che gli angoli EDA e EAD erano congruenti, ora sapendo che l'angolo AED è di 60° sappiamo anche che gli altri due angoli del triangolo AED sono di 60 e quindi il triangolo è equilatero. Va bene come dimostrazione?

[gabri]

e se uno non avesse la calcolatrice?

Si fanno un po' di conti!

Veramente avevo usato una semplice formula di bisezione, la calcolatrice non l'ho neppure toccata:

$ $\diaplaystyle {HE= \frac{l}{2} \cdot tan 15°}= \frac{l}{2} \cdot \frac {1- cos 30°}{ sen 30°}= \frac{l}{2} \cdot (2- \sqrt{3})}$ $
che guardacaso è proprio uguale a
$ $l- \frac {\sqrt{3}}{2}l$ $