a, b, c numeri reali positivi. Dimostrare che
$ \displaystyle \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+ \frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+ \frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2} \ge \frac{3}{5} $
1997 Giappone
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Appassionatamente BTA 197!
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rapportaureo
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Scommetto 1 euro che viene per bunching(tanto nessuno avrà il coraggio di fare tutti i conti! 
)
In ogni caso:
$ $\displaystyle\sum_{Cyc}\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}=3-\dysplaystyle\sum_{Cyc}\frac{2a(b+c)}{(b+c)^2+a^2} $
Quindi la disug diventa
$ $\dysplaystyle\sum_{Cyc}\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\leq\displaystyle\frac{6}{5}.$ $
Ponendo wlog a+b+c=1 viene diretta per jensen.
)In ogni caso:
$ $\displaystyle\sum_{Cyc}\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}=3-\dysplaystyle\sum_{Cyc}\frac{2a(b+c)}{(b+c)^2+a^2} $
Quindi la disug diventa
$ $\dysplaystyle\sum_{Cyc}\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\leq\displaystyle\frac{6}{5}.$ $
Ponendo wlog a+b+c=1 viene diretta per jensen.
Forse sbaglio ma mi chiedevo se in questo caso sia possibile applicare
Jensen.In effetti la funzione da considerare ,dopo l'assunzione a+b+c=1 , è :
$ \displaystyle f(x)=\frac{x(1-x)}{(1-x)^2+x^2},0<x<1 $
Ora la derivata seconda di f(x) risulta essere:
$ \displaystyle f"(x)=\frac{2(6x^2-6x+1)}{(2x^2-2x+1)^3} $ che non ha un segno fisso in [0,1]
Infatti si vede facilmente che è :
$ \displaystyle f"(x)\le 0 \text{ per} \frac{3-\sqrt3}{6} \le x \le \frac{3+\sqrt3}{6} $ ed $ \displaystyle f"(x) > 0 $ per i rimanenti punti dell'intervallo [0,1]
karl
Jensen.In effetti la funzione da considerare ,dopo l'assunzione a+b+c=1 , è :
$ \displaystyle f(x)=\frac{x(1-x)}{(1-x)^2+x^2},0<x<1 $
Ora la derivata seconda di f(x) risulta essere:
$ \displaystyle f"(x)=\frac{2(6x^2-6x+1)}{(2x^2-2x+1)^3} $ che non ha un segno fisso in [0,1]
Infatti si vede facilmente che è :
$ \displaystyle f"(x)\le 0 \text{ per} \frac{3-\sqrt3}{6} \le x \le \frac{3+\sqrt3}{6} $ ed $ \displaystyle f"(x) > 0 $ per i rimanenti punti dell'intervallo [0,1]
karl
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rapportaureo
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Già è vero l'avevo notato oggi nell'ora di francese...avevo controllato la concavità in modo troppo brutale...E' cmq vera per bunching..Alla fine viene
$ 3\displaystyle\sum_{sym}{a^6}+2\displaystyle\sum_{sym}{a^5 b}+2\displaystyle\sum_{sym}{a^3 b^3}+3\displaystyle\sum_{sym}{a^4bc}+4\displaystyle\sum_{sym}{a^2b^2c^2}\geq $$ 2\displaystyle\sum_{sym}{a^4 b^2}+12\displaystyle\sum_{sym}{a^3 b^2 c} $.
$ 2\displaystyle\sum_{sym}{a^6}+2\displaystyle\sum_{sym}{a^5 b}+2\displaystyle\sum_{sym}{a^3 b^3}\geq $ $ 2\displaystyle\sum_{sym}{a^4 b^2}+4\displaystyle\sum_{sym}{a^3 b^2 c} $ è vera per bunching.
$ \displaystyle\sum_{sym}{a^6}\geq\displaystyle\sum_{sym}{a^4bc} $
quindi
$ \displaystyle\sum_{sym}{a^6}+3\displaystyle\sum_{sym}{a^4bc}+4\displaystyle\sum_{sym}{a^2b^2c^2}\geq $$ 4\displaystyle\sum_{sym}{a^4bc}+4\displaystyle\sum_{sym}{a^2b^2c^2}. $
Resta da dim che
$ 4\displaystyle\sum_{sym}{a^4bc}+4\displaystyle\sum_{sym}{a^2b^2c^2}\geq 8\displaystyle\sum_{sym}{a^3 b^2 c}. $Ma dividendo per 4abc si ha la disug di Shur.
$ 3\displaystyle\sum_{sym}{a^6}+2\displaystyle\sum_{sym}{a^5 b}+2\displaystyle\sum_{sym}{a^3 b^3}+3\displaystyle\sum_{sym}{a^4bc}+4\displaystyle\sum_{sym}{a^2b^2c^2}\geq $$ 2\displaystyle\sum_{sym}{a^4 b^2}+12\displaystyle\sum_{sym}{a^3 b^2 c} $.
$ 2\displaystyle\sum_{sym}{a^6}+2\displaystyle\sum_{sym}{a^5 b}+2\displaystyle\sum_{sym}{a^3 b^3}\geq $ $ 2\displaystyle\sum_{sym}{a^4 b^2}+4\displaystyle\sum_{sym}{a^3 b^2 c} $ è vera per bunching.
$ \displaystyle\sum_{sym}{a^6}\geq\displaystyle\sum_{sym}{a^4bc} $
quindi
$ \displaystyle\sum_{sym}{a^6}+3\displaystyle\sum_{sym}{a^4bc}+4\displaystyle\sum_{sym}{a^2b^2c^2}\geq $$ 4\displaystyle\sum_{sym}{a^4bc}+4\displaystyle\sum_{sym}{a^2b^2c^2}. $
Resta da dim che
$ 4\displaystyle\sum_{sym}{a^4bc}+4\displaystyle\sum_{sym}{a^2b^2c^2}\geq 8\displaystyle\sum_{sym}{a^3 b^2 c}. $Ma dividendo per 4abc si ha la disug di Shur.