Limite

[Dedekind89]

Premetto che ho già postato questa richiesta in un altro forum senza ricevere risposta alcuna; allora, voglio dimostrare quanto segue: data una n-upla di numeri reali positivi e considerata la media di Holder di tali numer, facendo un passaggio al limite, per p tendente a 0, si ottiene la media geometrica, ma non riesco a risolvere questo limite, come posso fare??. Grazie.

[pic88]

Dunque... prendiamo il caso n=2. La p-media di a e b tende alla media geometrica, e per vederlo basta dividere per b^p e osservare che $ \displaystyle \frac{x^{2p}+1}{2x^p}\to 1. $ Poi dovrebbe essere non difficile fare il passo da n a 2n, e poi da n ad n-1 (ma quest'ultimo in realtà non ho provato nemmeno a farlo)

[EvaristeG]

Mah, a parte che questo non è il sito per farsi fare i compiti, come già detto e ridetto, molto semplicemente la cosa funziona così:
la media p-esima è $ M(p)=\left(\frac{x_1^p+\ldots+x_n^p}{n}\right)^{1/p} $
ora, considera
$ \displaystyle{\lim_{p\to 0}\log M(p)=\lim_{p\to0}\frac{\log(x_1^p+\ldots+x_n^p)-\log(n)}{p}} $
ed ora applica l'hopital a queste due come funzioni di p.

[Dedekind89]

Grazie sia a pic che a Evariste.

p.s. Ev. so benissimo che questo non è il sito per farsi fare i compiti, infatti io sono uno studente liceale e a scuola questi argomenti non si trattano, è solo che in uno dei miei tanti approfondimenti mi sono trovato a dover risolvere questo limite, non riuscivo ad uscirne e l'ho postato, non è un compito che mi è stato dato .