sommatoria di n^2

[snaggy]

come si risolve la sommatoria per n che va da 1 a k di n^2 ?

es: con k = 5:

1+4+9+16+25 = 55

ma con k alti ovviamente non posso farlo a mente! come si ricava una soluzione generica del problema?

grazie
Luca

[gabri]

è una semplice somma di quadrati:

$ \displaystyle \sum_{n=0}^{k}n^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $

è anche carina da dimostrare!
se avessi cercato sul forum prima di aprire un nuovo topic (peraltro in una sezione dedicata al problem solving), l'avresti sicuramente trovato!

[Jonny Tendenza]

Qua ci sono i passaggi che ti portano a quella formula!

Esiste anche una dimostrazione che fa uso dei numeri di Bernoulli.

Ciao!

[Desmo90]

più interessante: viewtopic.php?t=5702

[elianto84]

Oppure: si prova per induzione sulla struttura del triangolo di Tartaglia
(ogni numero è somma dei due che lo sovrastano, detta spiccia) che

$ \sum_{n=k}^{m}{n \choose k}={{m+1} \choose {k+1}} $

A questo punto un polinomio in $ n $ di $ k- $esimo grado
può essere espresso come combinazione lineare a coefficienti razionali
di $ \left\{{n \choose 0},{n \choose 1},\ldots,{n \choose k}\right\} $
e sommato su $ n $.

Per intenderci

$ \sum_{n=1}^{m} n^2 = 2 \sum_{n=1}^{m}{n \choose 2}+\sum_{n=1}^{m} {n \choose 1} = 2{{m+1} \choose 3} + {{m+1} \choose 2} $

Et le jeux sont faits.
(Dovrebbe essere anche sul vecchio forum...)