con l’Assioma di Rimpiazzamento riusciamo a dimostrare che, per ogni insieme X,
la totalità di ‘singoletti’ {x} con x appartenente a X è un insieme. Basta infatti usare quell’assioma
con la formula φ(x, y) def = (y = {x}). Da φ(x, y) e φ(x, y') (cioè (y = {x})
e (y' = {x})) segue infatti y = y', e quindi l’antecedente dell’assioma è verificato.
In altri termini, la formula φ(x, y) stabilisce una corrispondenza che ha la proprietà
delle funzioni. Dal conseguente segue che esiste un insieme Y che contiene tutti gli
insiemi y = {x} quando x varia in X. Con l’Assioma di Comprensione possiamo poi
concludere che esiste un insieme costituito da esattamente tutti quei singoletti. Possiamo dire che questo insieme è l'‘immagine’ di X nella corrispondenza determinata da φ(x, y).
Usando un ragionamento analogo a quello appena visto, si dimostri che la classe C
definita dalla formula: esistey (x = {y}) è una classe propria, cioè non è un insieme.
Pensavo di osservare che la classe C è costituita da tutti gli insiemi della forma
{y}, cioè da tutti i singoletti. Procedere per assurdo supponendo che C sia un insieme.Usare l’Assioma di Rimpiazzamento con la formula Ψ(x, y) def = (x = {y}). Inoltre è utile tenere presente che la totalità di tutti gli insiemi non è un insieme.
Ma come posso mettere insieme tutte queste cose e dimostrare la parte scritta in rosso?
