Trovare tutte le terne (a, b, c) di interi positivi tali che $ $a^2+3^b=2^c $
molto simile a quello di Cesenatico di quest'anno, l'idea di partenza è più o meno la stessa...
a^2+3^b=2^c
a^2+3^b=2^c
Appassionatamente BTA 197!
ragionando modulo 3 LHS $ \equiv 1 mod3 $ quindi $ c $ è pari.
Vediamo quindi la differenza di quadrati e ponendo $ c=2d $ otteniamo il sistema $ \displaystyle\\ 2^d+a=3^x \\ 2^d-a=3^y\\ $ dove $ x+y=b $ facendo la differenza otteniamo $ 3^x-3^y=2a $ e perciò $ y=0 $, mentre facendo la somma otteniamo $ 3^x+3^y=2^{d+1} $ , $ 3^x=2^{d+1}-1 $ allora d è dispari , ponendo $ d=2f-1 $ otteniamo il sistema $ \displaystyle\\ 3^w=2^f+1 \\ 3^z=2^f-1\\ $ dove $ w+z=x $ facendo la differenza si ha $ 2=3^w-3^z $ che ha come uniche soluzioni $ w=1 e z=0 $ ora rifacendo tutte le sostituzioni al contrario otteniamo che l' unica soluzione è $ a=1, b=1, c=2 $
Spero che sia giusta, visto che in quel cesenatico ho fatto zero punti.
Vediamo quindi la differenza di quadrati e ponendo $ c=2d $ otteniamo il sistema $ \displaystyle\\ 2^d+a=3^x \\ 2^d-a=3^y\\ $ dove $ x+y=b $ facendo la differenza otteniamo $ 3^x-3^y=2a $ e perciò $ y=0 $, mentre facendo la somma otteniamo $ 3^x+3^y=2^{d+1} $ , $ 3^x=2^{d+1}-1 $ allora d è dispari , ponendo $ d=2f-1 $ otteniamo il sistema $ \displaystyle\\ 3^w=2^f+1 \\ 3^z=2^f-1\\ $ dove $ w+z=x $ facendo la differenza si ha $ 2=3^w-3^z $ che ha come uniche soluzioni $ w=1 e z=0 $ ora rifacendo tutte le sostituzioni al contrario otteniamo che l' unica soluzione è $ a=1, b=1, c=2 $
Spero che sia giusta, visto che in quel cesenatico ho fatto zero punti.
