Cesenatico 1992/3

[mod_2]

Per ogni numero naturale $ $n $ sia $ $n! = 1*2*3 ....n $ il prodotto di tutti i numeri interi da $ $1 $ a $ $n $. Si dimostri che per ogni n ≥ 3 esistono $ $n $ interi positivi distinti $ $d_1 , d_2 , . . . , d_n $ , divisori di $ $n! $, tali che: $ $n! = d_1 + d_2 + ... + d_n $

Raccogliere, raccogliere
EDIT: veramente non è proprio un raccoglimento, anzi, è giusto l'incontrario...

[julio14]

Induzione
per n=3 funziona {1;2;3}.
Nel primo insieme ho un 1, dimostro che da un insieme di n elementi con le caratteristiche richiste e con un 1 è possibile creare l'insieme di n+1 con ancora un 1.
$ $d_1=1 $
$ $1+d_2+...+d_n=n! $
$ $(n+1)\cdot1+(n+1)d_2+...+(n+1)d_n=(n+1)\cdot n! $
$ $1+n+(n+1)d_2+...+(n+1)d_n=(n+1)! $
$ $d_i|n!\rightarrow (n+1)d_i|(n+1)! $

[Desmo90]

Usiamo il principio di induzione.
vediamo che per $ n=3 $, $ 3!=1+2+3 $ ok
Ora supponiamo che la tesi sia vera per $ n=a $.
Se $ n=(a+1) $ allora $ (a+1)!=(a+1)a!=(a+1)(d_1+d_2+...+d_a) $
Se $ d_1=1 $ allora $ (a+1)!=1+a+(a+1)d_1+(a+1)d_2+....+(a+1)d_a $ questa esperessione soddisfa la tesi.
Vediamo anche che $ d_1=1 $ per 3 e per a+1 e quindi per ogni n
Secondo voi va bene come ho utilizzato il principio di induzione?

[mod_2]

Edhai, me lo bruci in pochi minuti....
ciau!

[julio14]

Secondo voi va bene come ho utilizzato il principio di induzione?

Si che va bene
manca solo meno di mezza riga per dire che i nuovi d_i dividono (n+1)!