Problema di Trigonometria

[Simone90]

ciao ragazzi, non sto riuscendo ad impostare questi problemi mi date una mano?
un triangolo isoscele ABC di lato l ha l'angolo adiacente alla base BC di ampiezza x.
Si chiede:
1)di esprimere in funzione di l e di x la lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta;
2)di determinare per quali valori di x la somma del raggio della circonferenza circoscritta e dell'altezza AH del triangolo è 5/6 l radice di 3.
(deve risultare x=60 gradi V x=arcsen radice 3/3

[Simone90]

Sia AOB un settore circolare di centro O, di raggio AO=OB=r e di ampiezza 120 gradi.
Determinare sull'arco AB un punto P tale che, detta H la proiezione di P sulla corda AB, sia AH+3BH=(2 radice3 +1)r
(deve risultare PAB=45 gradi)
grazie in anticipo

[Stex19]

1) per il teorema della corda trovi $ $L=2r senx $, quindi $ $r=\frac{L}{2senx} $

[flexwifi]

Rispondo al primo problema.
Con i dati del testo hai:
$ \displaystyle AH =l \sin(x) $
$ \displaystyle BH = l \cos(x) $
Imponi l'equazione:
$ \displaystyle R^2 = (AH - R)^2 +BH^2 $ e ottieni:
$ \displaystyle R=\frac{l}{2 \sin(x)} $
Per la seconda parte basta impostare l'equazione con i valori trovati ed hai:
$ \displaystyle \frac{1}{2 \sin(x)} + \sin(x) = \frac{5}{6}\sqrt{3} $ che in effetti ti da come soluzioni quelle da te riportate.

Bye

[flexwifi]

Rispondo al secondo problema.
Con semplici osservazioni sugli angoli ricavi:
$ \displaystyle AH = \frac{(\sqrt{3} - 1)}{2}r $
$ \displaystyle BH = \frac{(\sqrt{3} + 1)}{2}r $
Imposti l'equazione:
$ \displaystyle \frac{r^2}{4} + (PH + \frac{r}{2})^2 = r^2 $
da cui ricavi:
$ \displaystyle PH = \frac{(\sqrt{3} - 1)}{2}r $
quindi PH = AH che implica che l'angolo PAH che e' uguale all'angolo PAB e' uguale a 45 gradi.

Bye

[Simone90]

grazie mille ragazzi

[Simone90]

scusa flex, non mi quadra l'equazione in sen x; come lai risolta?

[flexwifi]

L'equazione vale:
$ \displaystyle 6 \sin^2(x) -5 \sqrt{3} \sin(x) + 3 = 0 $
che dà come soluzioni:
$ \displaystyle \sin(x) = \frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e
$ \displaystyle \sin(x) = \frac{5 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Ciao

[Simone90]

scusa flex ma dall'equazione del raggio come trovo ph?

[flexwifi]

Ho semplicemente risolto l'equazione di secondo grado supponendo che l'unica incognita fosse PH. Infatti nela mia soluzione puoi notare come PH sia scritto in funzione di r. r non e' un'incognita!!! Lo puoi assumere come un termine noto dato dal testo.

Bye