Sia A un insieme parzialmente ordinato.
Ad ogni elemento $ ~ a \in A $ associamo un insieme $ ~ f(a) $, ad ogni coppia $ ~ a,b \in A $ tale che $ ~ a \ge b $ associamo la funzione $ ~ g_{a,b}:f(a) \rightarrow f(b) $.
Le funzioni si compongono bene: se $ ~ a \ge b \ge c $, allora $ ~ g_{b,c}\circ g_{a,b} = g_{a,c} $.
O meglio, abbiamo un funtore da un poset in Set.
Diciamo che il limite di questa struttura sono i modi di prendere un elemento da ciascun f(a), in modo che questi elementi "fluiscano bene" con le g.
Cioè, il limite è l'insieme delle funzioni h che associano ad ogni elemento $ ~ a \in A $ un elemento $ ~ h(a) \in f(a) $, tali che per ogni $ ~ a \ge b $ si abbia $ g_{a,b}(h(a)) = h(b) $.
Aggiungiamo queste ipotesi:
- beh, A non è vuoto...
- neanche nessun f(a) è vuoto
- e tutte le funzioni g sono suriettive
O meglio, il limite di quella struttura è proprio il limite del funtore.
Ora finalmente arriva la domanda.
Possiamo dire che il limite è sempre non vuoto?
Dimostrarlo o trovare un controesempio.