Problema su una città Russa
Problema su una città Russa
L'inverno è arrivato. Dato che la terra si congelerà , bisogna scavare abbastanza fosse nel cimitero in anticipo del numero di morti. La popolazione della città è di 1000 abitanti. Ogni persona ha la probabilità del 1% di morire durante l'inverno.
Qual'è il minimo numero di fosse che bisogna scavare per essere sicuri al 90% di averne scavate abbastanza?
Io non ho idea di come cominciare.
Rispondete perfavore
FONTE: ho trovato il problema in un libro intitolato 'IQ Puzzles'. Ogni problema ha una difficoltà da 1 a 5, e questa era tra gli unici 3 ad avere difficoltà 5 (su più di 600 problemi). Non sono ammesse calcolatrici. Comunque, sono un quindicenne che andrà al Cesenatico - mi è stato consigliato di dirlo, ma non ho ancora capito perchè
Qual'è il minimo numero di fosse che bisogna scavare per essere sicuri al 90% di averne scavate abbastanza?
Io non ho idea di come cominciare.
Rispondete perfavore
FONTE: ho trovato il problema in un libro intitolato 'IQ Puzzles'. Ogni problema ha una difficoltà da 1 a 5, e questa era tra gli unici 3 ad avere difficoltà 5 (su più di 600 problemi). Non sono ammesse calcolatrici. Comunque, sono un quindicenne che andrà al Cesenatico - mi è stato consigliato di dirlo, ma non ho ancora capito perchè
Ultima modifica di Lupacante il 28 mar 2008, 21:21, modificato 1 volta in totale.
"se preceduto dalla propria citazione produce una falsità" se preceduto dalla propria citazione produce una falsità.
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Dunque... proviamo (sono nuovo, quindi spero di non scrivere stupidaggini...)
La probabilità che una persona non muoia è del 99%...
La probabilità che 2 persone non muoiano è $ \frac{99^2}{100^2} $
La probabilità che 1 persona muoia e una no è $ \frac{1}{100}\cdot\frac{99}{100} $
La probabilità che n persone muoiano e (1000-n) no è $ (\frac{1}{100})^n\cdot(\frac{99}{100})^{1000-n}=(\frac{99^1000-n}{100^1000})^n $
Per qualche n intero quest'ultima quantità sarà maggiore o uguale al 90%...
Purtroppo non so come semplificare questo conto... ho appena iniziato le equazioni esponenziali...
Qualcuno più esperto che mi aiuta????
La probabilità che una persona non muoia è del 99%...
La probabilità che 2 persone non muoiano è $ \frac{99^2}{100^2} $
La probabilità che 1 persona muoia e una no è $ \frac{1}{100}\cdot\frac{99}{100} $
La probabilità che n persone muoiano e (1000-n) no è $ (\frac{1}{100})^n\cdot(\frac{99}{100})^{1000-n}=(\frac{99^1000-n}{100^1000})^n $
Per qualche n intero quest'ultima quantità sarà maggiore o uguale al 90%...
Purtroppo non so come semplificare questo conto... ho appena iniziato le equazioni esponenziali...
Qualcuno più esperto che mi aiuta????
brrrr
vorrei solo sapere chi è che ha l'ha pensato una cosa del genere
ad ogni caso sia $ p $ la probabilità che muoia una persona tra le $ n $ "viventi" (nel nostro caso p=1% e n=1000), allora la probabilità che ne muoiano esattamente $ k \in [1,n] $ è $ p^k(1-p)^{n-k}\binom{n}{k} $. allora la probabilità che ne muoiano al massimo $ k $ è $ P=\sum_{i=0}^{k}{p^k(1-p)^{n-k}\binom{n}{k} $(tocchiamo tutte le cose a tiro ).
da qua l'unica condizione è $ P \le \frac{9}{10} $. sia $ k_0 $ il piu grande intero positivo che rende vera la disequazione. la soluzione vale $ k_0+1 $.
scusate ma non ho voglia di fare i conti..(che tra l'altro mi pare quasi impossibile "a mano")
vorrei solo sapere chi è che ha l'ha pensato una cosa del genere
ad ogni caso sia $ p $ la probabilità che muoia una persona tra le $ n $ "viventi" (nel nostro caso p=1% e n=1000), allora la probabilità che ne muoiano esattamente $ k \in [1,n] $ è $ p^k(1-p)^{n-k}\binom{n}{k} $. allora la probabilità che ne muoiano al massimo $ k $ è $ P=\sum_{i=0}^{k}{p^k(1-p)^{n-k}\binom{n}{k} $(tocchiamo tutte le cose a tiro ).
da qua l'unica condizione è $ P \le \frac{9}{10} $. sia $ k_0 $ il piu grande intero positivo che rende vera la disequazione. la soluzione vale $ k_0+1 $.
scusate ma non ho voglia di fare i conti..(che tra l'altro mi pare quasi impossibile "a mano")
The only goal of science is the honor of the human spirit.
il libro dice che ogni esercizio, teoricamente, può essere risolto senza calcolatrici in pochi minutii...scusa, e buona fortuna!jordan ha scritto: scusate ma non ho voglia di fare i conti..(che tra l'altro mi pare quasi impossibile "a mano")
"se preceduto dalla propria citazione produce una falsità" se preceduto dalla propria citazione produce una falsità.
Uh?jordan ha scritto:la probabilità che ne muoiano al massimo $ k $ è $ P=\sum_{i=0}^{k}{p^k(1-p)^{n-k}\binom{n}{k} $
In questa sommatoria la "i" dov'è?
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
dai oh, un po di fantasia, $ P=\sum_{i=0}^{k}{p^i(1-p)^{n-i}\binom{n}{i} $Oblomov ha scritto:Uh?jordan ha scritto:la probabilità che ne muoiano al massimo $ k $ è $ P=\sum_{i=0}^{k}{p^k(1-p)^{n-k}\binom{n}{k} $
In questa sommatoria la "i" dov'è?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
comunque devi ricordarti di moltiplicare per tutte le possibili permutazioni di queste mille persone, che equivale aantosecret ha scritto: La probabilità che n persone muoiano e (1000-n) no è $ (\frac{1}{100})^n\cdot(\frac{99}{100})^{1000-n}=(\frac{99^1000-n}{100^1000})^n $
1000! / (n! (1000-n)!)
(mille su n)
(scusa non so usare latex)
"se preceduto dalla propria citazione produce una falsità" se preceduto dalla propria citazione produce una falsità.
Allora, se la probabilità di morire sarebbe stata del 100%, per essere sicuri al 90% di costruire si sarebbero dovute costruire 900 tombe, ora la probabilità è dell'1%, ne segue: 900 per 100%, e un "num. x" per l'1%, ne segue:
900:100=x:1, ne segue x=9, cioè si devono costruire 9 tombe.
L'ho buttata là così, sarà probabilmente sbagliata, però come dice il libro c'ho messo un paio di minuti
900:100=x:1, ne segue x=9, cioè si devono costruire 9 tombe.
L'ho buttata là così, sarà probabilmente sbagliata, però come dice il libro c'ho messo un paio di minuti
No, la soluzione corretta è quella indicata da jordan; ovvero noi cerchiamo un n tale che
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1000!}{k! \cdot (k-1)!} \cdot p^k \cdot q^{1000-k} >= 0,9 $ e che $ \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1000!}{k! \cdot (k-1)!} \cdot p^k \cdot q^{1000-k} < 0,9 $
in parole povere si tratta di sostituire a k nella prima sommatoria prima zero e poi i numeri interi crescenti, sommando ogni volta i risultati parziali di probabilità; quando arrivi a ottenere o superare 0,9, ti fermi: l'ultimo valore di k che hai utlizzato è il numero di fosse da scavare per essere "sicuri al 90 %" (è un po' un ossimoro) di averne scavate abbastanza.
Con un po' di noiosi calcoli si ottiene $ n = 14 $
Però ovviamente il libro non allude a questo metdo, quindi ci sono due possibilità: o esiste un metodo più semplice (che non è quello di k3v, perché già la sua premessa è sbagliata: se la probabilità di morire fosse del 100 % l'evento TUTTI MORTI sarebbe certo e tutti gli altri eventi impossinbili, e quindi non avrebbe senso parlare di probabilità di scavare un numero di tombe sufficienti), oppure il libro sbaglia o pone male il problema.
Se qualcun altro si è preso la briga di fare i conti, chiedo conferma del mio 14...
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1000!}{k! \cdot (k-1)!} \cdot p^k \cdot q^{1000-k} >= 0,9 $ e che $ \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1000!}{k! \cdot (k-1)!} \cdot p^k \cdot q^{1000-k} < 0,9 $
in parole povere si tratta di sostituire a k nella prima sommatoria prima zero e poi i numeri interi crescenti, sommando ogni volta i risultati parziali di probabilità; quando arrivi a ottenere o superare 0,9, ti fermi: l'ultimo valore di k che hai utlizzato è il numero di fosse da scavare per essere "sicuri al 90 %" (è un po' un ossimoro) di averne scavate abbastanza.
Con un po' di noiosi calcoli si ottiene $ n = 14 $
Però ovviamente il libro non allude a questo metdo, quindi ci sono due possibilità: o esiste un metodo più semplice (che non è quello di k3v, perché già la sua premessa è sbagliata: se la probabilità di morire fosse del 100 % l'evento TUTTI MORTI sarebbe certo e tutti gli altri eventi impossinbili, e quindi non avrebbe senso parlare di probabilità di scavare un numero di tombe sufficienti), oppure il libro sbaglia o pone male il problema.
Se qualcun altro si è preso la briga di fare i conti, chiedo conferma del mio 14...
Credo si possa dire semplicemente che ogni persona ha l'1% di possibilità di morire, quindi la media delle persone morte sarà l'1% di 1000, cioè 10. Per essere al 90% sicuri di scavare il numero di tombe giuste si fa il 90% di 10, che è 9, come credo qualcun'altro abbia già detto in poche èarole prima di me. (Poi potrei essere completamente fuori strada!!) Potrei saperee che risultato da il libro?
Questo ragionamento presuppone che scavando 10 fosse si sia sicuri al 100 %, cioè si abbia la CERTEZZA, di averne scavate abbastanza, cosa assurda, perché il numero esatto di morti non lo conosciamo e non abbiamo modo di conoscerlo; la probabilità media ti dà l'evento più probabile (in questo caso 10 morti), ma non l'evento CERTO. Per esempio in questo caso l'evento "10 morti", che è il più probabile in assoluto fra tutti quelli possibili, ha una probabilità di appena 12,57 %:Fedecart ha scritto:Per essere al 90% sicuri di scavare il numero di tombe giuste si fa il 90% di 10, che è 9
$ \frac{1000!}{10! \cdot 990!} \cdot {(\frac{1}{100}})^{10} \cdot {(\frac{99}{100}})^{990} = 0,1257 $
k3v ha scritto:Allora, se la probabilità di morire sarebbe stata del 100%, per essere sicuri...
Va beh che è un forum di Matematica, ma cerchiamo di non scriverle troppo grosse...Correttore automatico di MicrosoftWord ha scritto:Modo verbale incorretto.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
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