Dimostrare la seguente disuguaglianza dovuta a Chebyshev:
Dato un polinomio reale monico p(x) di grado $ n\geq1 $, si ha $ max\{|p(x)|: -1\leq x\leq1\} \geq \frac{1}{2^{n-1}} $
Disegualianza polinomiale mooooolto ingegnosa
Disegualianza polinomiale mooooolto ingegnosa
"Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo"
"I matematici parlano con Dio, i fisici parlano ai matematici, gli altri parlano tra loro"
"I matematici parlano con Dio, i fisici parlano ai matematici, gli altri parlano tra loro"
Si davvero bella.
Sia $ T_n(x) \in \mathbb{Z}[x] $ l'$ n $-esimo polinomio di Chebyshev. Ricordiamo che essi hanno coefficiente direttivo $ 2^{n-1} $ e verificano la funzionale $ T_n(x)=\cos(nx), \forall x \in \mathbb{R} $. Sia definito il polinomio monico $ C_{n}(x)=2^{1-n}T_n(x), \forall n \in \mathbb{N}_0 $ per cui: $ |C_n(x)|=\frac{1}{2^{n-1}}|\cos(n \text{arcos}(x))| \le \frac{1}{2^{n-1}}, \forall x \in [-1,1] $. Notiamo anche che $ C_n(\cos(\frac{i\pi}{n})), \text{ per } i=0,1,2,\ldots, n $ assume alternativamente il valore di massimo e minimo con modulo $ 2^{1-n} $. Supponiamo adesso per assurdo che esiste un polinomio monico $ P(x) $ tale che $ \max\{|P(x)|: x \in [-1,1]\}<2^{1-n} $. Allora $ [P(\cos(\frac{i\pi}{n}))-C_n(\cos(\frac{i\pi}{n}))][P(\cos(\frac{(i+1)\pi}{n}))-C_n(\cos(\frac{(i+1)\pi}{n}))]<0, $per $ i=0,1,2,\ldots, n-1 $. Allora $ P(x)-C_n(x) $ avrà almeno $ n $ zeri reali, assurdo in quanto $ deg(P(x)-C_n(x)) \le n-1 $.
Sia $ T_n(x) \in \mathbb{Z}[x] $ l'$ n $-esimo polinomio di Chebyshev. Ricordiamo che essi hanno coefficiente direttivo $ 2^{n-1} $ e verificano la funzionale $ T_n(x)=\cos(nx), \forall x \in \mathbb{R} $. Sia definito il polinomio monico $ C_{n}(x)=2^{1-n}T_n(x), \forall n \in \mathbb{N}_0 $ per cui: $ |C_n(x)|=\frac{1}{2^{n-1}}|\cos(n \text{arcos}(x))| \le \frac{1}{2^{n-1}}, \forall x \in [-1,1] $. Notiamo anche che $ C_n(\cos(\frac{i\pi}{n})), \text{ per } i=0,1,2,\ldots, n $ assume alternativamente il valore di massimo e minimo con modulo $ 2^{1-n} $. Supponiamo adesso per assurdo che esiste un polinomio monico $ P(x) $ tale che $ \max\{|P(x)|: x \in [-1,1]\}<2^{1-n} $. Allora $ [P(\cos(\frac{i\pi}{n}))-C_n(\cos(\frac{i\pi}{n}))][P(\cos(\frac{(i+1)\pi}{n}))-C_n(\cos(\frac{(i+1)\pi}{n}))]<0, $per $ i=0,1,2,\ldots, n-1 $. Allora $ P(x)-C_n(x) $ avrà almeno $ n $ zeri reali, assurdo in quanto $ deg(P(x)-C_n(x)) \le n-1 $.
The only goal of science is the honor of the human spirit.