dimostrare che
$ \displaystyle $ a \equiv b \pmod{k \cdot n} $
implica
$ \displaystyle $ a^{k} \equiv b^{k} \pmod{k^{2} \cdot n} $
consgruenze (tanto per cambiare argomento)
consgruenze (tanto per cambiare argomento)
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
boz fintanto che i problemi si possono fare...
dall'ipotesi abbiamo $ a = cnk + b $ con c intero opportuno
eleviamo tutto alla k
$ a^k = (cnk + b)^k $
usiamo newton per sviluppare la potenza:
$ \displaystyle a^k = \sum_{i = 0}^k\binom{k}{i}(cnk)^ib^{k-i} $
estraiamo i primi due addendi della somma:
$ \displaystyle a^k = \binom{k}{0}b^k + \binom{k}{1} cnkb^{k-1}+ \sum_{i = 2}^k\binom{k}{i}(cnk)^ib^{k-i} $
dalla definizione troviamo che $ \displaystyle \binom{k}{1} = $$ \displaystyle \frac{k!}{1!(k-1)!} = k $. e sappiamo che $ \displaystyle \binom{k}{0} = 1 $ per qualsiasi k intero.
Inoltre si vede che possiamo mettere in evidenza un $ nk^2 $ in quanto l'esponente di k nella somma è al minimo 2 (e anche della n è al minimo 1). riscriviamo quindi come:
$ \displaystyle a^k = b^k + nk^2\left(cb^{k-1} + \sum_{i = 2}^kc^in^{i-1}k^{i-2}b^{k-i}\right) $
che è esattamente $ a^k = b^k +nk^2d $ che è quello che volevamo.[]
dall'ipotesi abbiamo $ a = cnk + b $ con c intero opportuno
eleviamo tutto alla k
$ a^k = (cnk + b)^k $
usiamo newton per sviluppare la potenza:
$ \displaystyle a^k = \sum_{i = 0}^k\binom{k}{i}(cnk)^ib^{k-i} $
estraiamo i primi due addendi della somma:
$ \displaystyle a^k = \binom{k}{0}b^k + \binom{k}{1} cnkb^{k-1}+ \sum_{i = 2}^k\binom{k}{i}(cnk)^ib^{k-i} $
dalla definizione troviamo che $ \displaystyle \binom{k}{1} = $$ \displaystyle \frac{k!}{1!(k-1)!} = k $. e sappiamo che $ \displaystyle \binom{k}{0} = 1 $ per qualsiasi k intero.
Inoltre si vede che possiamo mettere in evidenza un $ nk^2 $ in quanto l'esponente di k nella somma è al minimo 2 (e anche della n è al minimo 1). riscriviamo quindi come:
$ \displaystyle a^k = b^k + nk^2\left(cb^{k-1} + \sum_{i = 2}^kc^in^{i-1}k^{i-2}b^{k-i}\right) $
che è esattamente $ a^k = b^k +nk^2d $ che è quello che volevamo.[]
Ultima modifica di Agi_90 il 24 mar 2008, 11:52, modificato 1 volta in totale.
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Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
me l'immaginavo una cosa simile infatti ho postato alla buona e ora stavo sistemando XDAle90 ha scritto:Che bello essere bruciato sul tempo mentre cerchi i simboli di LaTeX più adattiAgi_90 ha scritto:boz fintanto che i problemi si possono fare...
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Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
Bè che dire...
Buona a Agi_90...
Avevo messo il problema perchè speravo ci fosse una soluzione più veloce...
La mia è molto simile a quella...
Da qui mi nasce un dubbio...(glossario)
Buona a Agi_90...
Avevo messo il problema perchè speravo ci fosse una soluzione più veloce...
La mia è molto simile a quella...
Da qui mi nasce un dubbio...(glossario)
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
-
matemark90
- Messaggi: 67
- Iscritto il: 03 nov 2006, 20:02
- Località: la città del carnevale (RE)
Se permettete un po' di ritardo...
Dimostrare che $ a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+b^{k-1}) \equiv 0 \pmod {k^2n} $ equivale a dimostrare che $ a^{k-1}+a^{k-2}b+...+b^{k-1}\equiv 0 \pmod {k} $
Per ipotesi $ a\equiv b \pmod{k} $. Sostituiamo e abbiamo $ a^{k-1}+a^{k-1}+...+a^{k-1}=ka^{k-1}\equiv 0 \pmod {k} $
Dimostrare che $ a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+b^{k-1}) \equiv 0 \pmod {k^2n} $ equivale a dimostrare che $ a^{k-1}+a^{k-2}b+...+b^{k-1}\equiv 0 \pmod {k} $
Per ipotesi $ a\equiv b \pmod{k} $. Sostituiamo e abbiamo $ a^{k-1}+a^{k-1}+...+a^{k-1}=ka^{k-1}\equiv 0 \pmod {k} $
Hasta la Carla... SIEMPRE!!!
Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore.
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