Dalla gara a squadre
Dalla gara a squadre
Siano due circonferenze tangenti internamente in P.Da P si conduca una corda AP della circonferenza esterna che interseca la circonfenza interna in D.Da A si conduca la corda AB della circonferenza esterna tangente in C la circonferenza interna.Sia E l'intersezione della corda PB con la circonferenza interna.Sia PD=17,PE=11,AB=196 calcolare AC.
-
¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
- Messaggi: 849
- Iscritto il: 22 ott 2006, 14:36
- Località: Carrara/Pisa
i triangoli PDE e PAB sono simili per omotetia quindi il loro rapporto è il rapporto tra le altezze:
$ \displaystyle \frac{AB}{DE}= \frac{4bc \cos^2{\frac{\alpha}{2}}}{a^2}+1= \frac{4p(p-a)}{a^2}+1 $
$ \displaystyle 196a = 4 \left ( 14^2-\left ( \frac{a}{2}\right )^2 \right ) + a^2 $ da cui $ a=4 $, quindi il rapporto di similitudine è $ \frac{196}{4}=49 $ da cui $ AC=\frac{4 \cdot 17}{28}\cdot 49 = 119 $
Però è da notare che nel triangolo PDE non vale da disuguaglianza triangolare perchè 11+4<17
$ \displaystyle \frac{AB}{DE}= \frac{4bc \cos^2{\frac{\alpha}{2}}}{a^2}+1= \frac{4p(p-a)}{a^2}+1 $
$ \displaystyle 196a = 4 \left ( 14^2-\left ( \frac{a}{2}\right )^2 \right ) + a^2 $ da cui $ a=4 $, quindi il rapporto di similitudine è $ \frac{196}{4}=49 $ da cui $ AC=\frac{4 \cdot 17}{28}\cdot 49 = 119 $
Però è da notare che nel triangolo PDE non vale da disuguaglianza triangolare perchè 11+4<17
-
¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
- Messaggi: 849
- Iscritto il: 22 ott 2006, 14:36
- Località: Carrara/Pisa
le due crf si tangono in P quindi sono omotetiche di centro P, ed essendo P,D,A e P,E,B allineati si ha che AB e DE sono parallele siccome l'omotetia conserva il parallelismo.
con a,b,c intento i lati BC,CA,AB e con $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ intendo gli angoli $ \angle CAB $, $ \angle ABC $, $ BCA $ in un generico triangolo ABC.
In questo caso ho usato PED come triangolo e il fatto che essendo AB tangente e parallela al lato C è il punto medio dell'arco ED (non contenente P) e quindi PC è bisettrice di $ APB $.
Poi chiamato G il punto di intersezione tra DE e PC, il rapporto tra le lunghezze dei due triangoli simili è uguale al rapporto tra le loro altezze che le calcolo la prima come A/a e l'altra come A/a+GC.
chiamato H il biede della bisettrice da P su DE calcolo $ HD=\frac{PD \cdot ED}{PD+PE} $ per il teorema della bisettrice e lo moltiplico per il rapporto di similitudine e ottengo AC.
rimane il fatto che abbiamo trovato un triangolo con lati 11,17,4
con a,b,c intento i lati BC,CA,AB e con $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ intendo gli angoli $ \angle CAB $, $ \angle ABC $, $ BCA $ in un generico triangolo ABC.
In questo caso ho usato PED come triangolo e il fatto che essendo AB tangente e parallela al lato C è il punto medio dell'arco ED (non contenente P) e quindi PC è bisettrice di $ APB $.
Poi chiamato G il punto di intersezione tra DE e PC, il rapporto tra le lunghezze dei due triangoli simili è uguale al rapporto tra le loro altezze che le calcolo la prima come A/a e l'altra come A/a+GC.
chiamato H il biede della bisettrice da P su DE calcolo $ HD=\frac{PD \cdot ED}{PD+PE} $ per il teorema della bisettrice e lo moltiplico per il rapporto di similitudine e ottengo AC.
rimane il fatto che abbiamo trovato un triangolo con lati 11,17,4
-
¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
- Messaggi: 849
- Iscritto il: 22 ott 2006, 14:36
- Località: Carrara/Pisa