Polinomi di Chebyshev (successione)

[Ani-sama]

Studiando Analisi Numerica mi è capitato di imbattermi in un problema, credo abbastanza elementare, che mi è sembrato carino.

Si definisca la successione reale $ \{T_n\} $ come:

$ T_n = \cos (n \arccos \lambda) $, ove $ \lambda \in [-1,1] $ è un parametro reale.

Si chiede di trovare una formula di ricorrenza a tre termini per $ T_n $ (se poi ne trovate una a due termini tanto meglio, quella a tre termini c'è di sicuro però ).

Buon lavoro!

[wolverine]

divertente . lascio di seguito un suggerimento in bianco, anche se in effetti e' facilissimo.


e^{i t}=cos(t) + i sen (t)

[edriv]

Lemma: la successione di polinomi (in 2 variabili) $ ~ P_n = x^n + y^n $ soddisfa una ricorrenza in 2 termini.
Dimostrazione: $ ~ x^{n+2}+y^{n+2} = (x+y)(x^{n+1}+y^{n+1}) - xy(x^n+y^n) $
(in generale, con k variabili, una ricorrenza carina in k termini)

Corollario: mettendo $ ~ x = e^i, y = e^{-i} $ e dividendo per 2, allora la successione $ ~ \cos n \alpha $ soddisfa una ricorrenza in 2 termini. Nel dettaglio, tale ricorrenza è:
$ ~ \cos (n+2)\alpha = 2\cos \alpha \cos(n+1)\alpha - \cos n\alpha $

Corollario del corollario: il problema di Ani-sama, per cui vale la ricorrenza
$ ~ T_{n+2} = 2\lambda T_{n+1} - T_n $

[Ani-sama]

Oh edriv, tu sì che mi dai soddisfazioni.