Qualcuno potrebbe mostrarmi come si può dimostrare solo con il triangolo di tartaglia(senza binomio di Newton) che
2^n = $ n\choose 0 $ + $ n\choose 1 $ + $ \cdots $ + $ n\choose n $
dimostrazione somma di coefficienti binomiali..
- Ponnamperuma
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Beh, si può fare per induzione, noto il significato combinatorico dei coefficienti binomiali... i.e.: dimostrare che un insieme con n elementi ha 2^n sottoinsiemi...
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger
MIND torna!! :D
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Anche senza sapere cosa sia il coefficiente binomiale in combinatoria,ma sapendo solo che ogni elemento di una riga è la somma dei due sopra, si può dimostrare per induzione. Il passo base è facile:
$ {0\choose 0}=1=2^0 $
per il passo induttivo, ti faccio un esempio e ti lascio il compito di scrivere la dimostrazione come si deve:
supponiamo di sapere che per n=5 la tesi è vera, allora scriviamo
$ {6\choose 0}={5\choose 0} $
$ {6\choose 1}={5\choose 0}+{5\choose 1} $
$ {6\choose 2}={5\choose 1}+{5\choose 2} $
$ {6\choose 3}={5\choose 3}+{5\choose 4} $
e così via; dunque possiamo scrivere che
$ \displaystyle{\begin{array}{c@{+}c@{+}c@{+}c@{+}c@{+}c@{+}cl} {6\choose 0}&{6\choose 1}&{6\choose 2}&{6\choose 3}&{6\choose 4}&{6\choose 5}&{6\choose 6}&=\\ {5\choose0}&{5\choose 1}&{5\choose 2}&{5\choose3}&{5\choose 4}&{5\choose 5}&&\\ &{5\choose0}&{5\choose 1}&{5\choose 2}&{5\choose3}&{5\choose 4}&{5\choose 5}&\end{array}} $
dove abbiamo usato le relazioni di cui sopra scritte in colonna sotto ogni binomiale col 6. Sommando per righe, sappiamo che la seconda fa $ 2^5=32 $ come pure la terza, ma quindi la prima, che è somma di entrambe, fa $ 2\cdot2^5=2^6 $.
Ora prova tu a scrivere una dimostrazione rigorosa con quest'idea.
$ {0\choose 0}=1=2^0 $
per il passo induttivo, ti faccio un esempio e ti lascio il compito di scrivere la dimostrazione come si deve:
supponiamo di sapere che per n=5 la tesi è vera, allora scriviamo
$ {6\choose 0}={5\choose 0} $
$ {6\choose 1}={5\choose 0}+{5\choose 1} $
$ {6\choose 2}={5\choose 1}+{5\choose 2} $
$ {6\choose 3}={5\choose 3}+{5\choose 4} $
e così via; dunque possiamo scrivere che
$ \displaystyle{\begin{array}{c@{+}c@{+}c@{+}c@{+}c@{+}c@{+}cl} {6\choose 0}&{6\choose 1}&{6\choose 2}&{6\choose 3}&{6\choose 4}&{6\choose 5}&{6\choose 6}&=\\ {5\choose0}&{5\choose 1}&{5\choose 2}&{5\choose3}&{5\choose 4}&{5\choose 5}&&\\ &{5\choose0}&{5\choose 1}&{5\choose 2}&{5\choose3}&{5\choose 4}&{5\choose 5}&\end{array}} $
dove abbiamo usato le relazioni di cui sopra scritte in colonna sotto ogni binomiale col 6. Sommando per righe, sappiamo che la seconda fa $ 2^5=32 $ come pure la terza, ma quindi la prima, che è somma di entrambe, fa $ 2\cdot2^5=2^6 $.
Ora prova tu a scrivere una dimostrazione rigorosa con quest'idea.
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Re: dimostrazione somma di coefficienti binomiali..
c89l ha scritto:... (senza binomio di Newton)...
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger
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