a) Si hanno sette numeri interi positivi $ ~a $, $ ~b $, $ ~c $, $ ~d $, $ ~e $, $ ~f $, $ ~g $ tali che i prodotti $ ~ab $, $ ~bc $, $ ~cd $, $ ~de $, $ ~ef $, $ ~fg $, $ ~ga $ sono tutti cubi perfetti. Dimostrare che anche $ ~a $, $ ~b $, $ ~c $, $ ~d $, $ ~e $, $ ~f $, $ ~g $ sono cubi perfetti.
b) Si hanno sei numeri interi positivi $ ~a $, $ ~b $, $ ~c $, $ ~d $, $ ~e $, $ ~f $ tali che i prodotti $ ~ab $, $ ~bc $, $ ~cd $, $ ~de $, $ ~ef $, $ ~fa $ sono tutti cubi perfetti.
È sempre vero che $ ~a $, $ ~b $, $ ~c $, $ ~d $, $ ~e $, $ ~f $ sono tutti cubi perfetti?
Nota: si dice cubo perfetto un intero $ ~m $ tale che $ ~m=n^3 $ per qualche intero $ ~n $.
Io l'ho risolto così:
a) Pongo:
$ ~ab=x_1=y_1^3 $
$ ~bc=x_2=y_2^3 $
$ ~cd=x_3=y_3^3 $
$ ~de=x_4=y_4^3 $
$ ~ef=x_5=y_5^3 $
$ ~fg=x_6=y_6^3 $
$ ~ga=x_7=y_7^3 $
Moltiplico membro a membro:
$ \displaystyle a^2 b^2 c^2 d^2 e^2 f^2 g^2=(a b c d e f g)^2=\prod_{i=0}^7 y_i^3=\left(\prod_{i=0}^7 y_i\right)^3 $
Pongo $ ~ a b c d e f g = w $ e $ \displaystyle \prod_{i=0}^7 y_i=p $, l'uguaglianza precedente diventa:
$ \displaystyle w^2=p^3 $
Estraggo la radice quadrata di ambo i membri:
$ \displaystyle \sqrt{w^2}=\sqrt{p^3} $
$ \displaystyle w=p \sqrt{p} $
Ora, dato che $ ~w $ è un intero, allora anche $ ~\sqrt{p} $ sarà intero, quindi $ ~ p $ sarà un quadrato. Poniamo allora $ ~ p=q^2 $ e quindi:
$ \displaystyle w=q^2\sqrt{q^2}=q^2q=q^3 $
Quindi il prodotto $ ~ a b c d e f g=w $ è un cubo. Ora:
$ \displaystyle q^3=a b c d e f g $
So che $ ~ab=y_1^3 $, $ ~cd=y_3^3 $ e $ ~ef=y_5^3 $ sono cubi, quindi divido ambo i membri per $ ~a b c d e f=y_1^3y_3^3 y_5^3 $:
$ \displaystyle \frac{q^3}{y_1^3y_3^3y_5^3}=\left(\frac{q}{y_1y_3 y_5}\right)^3=g $
Quindi $ ~g $ è un cubo. Ora riprendo in mano l'uguaglianza precedente e dato che $ ~bc=y_2^3 $, $ ~de=y_4^3 $ e $ ~fg=y_6^3 $ sono cubi, posso dividere ambo i membri per $ ~b c d e f g=y_2^3y_4^3 y_6^3 $:
$ \displaystyle \frac{q^3}{y_2^3y_4^3y_6^3}=\left(\frac{q}{y_2y_4 y_6}\right)^3=a $
Quindi ho dimostrato che $ ~a $ è un cubo. Finora ho dimostrato che $ ~a $ e $ ~g $ sono cubi. Ora divido ambo i membri per $ ~ga=y_7^3 $, che è un cubo:
$ \displaystyle \frac{q^3}{y_7^3}=\left(\frac{q}{y_7}\right)^3=q'^3=b c d e f $
Ora, analogamente a prima, so che $ ~bc=y_2^3 $ e $ ~de=y_4^3 $ sono cubi, divido ambo i membri per $ ~b c d e=y_2^3y_4^3 $:
$ \displaystyle \frac{q'^3}{y_2^3y_4^3}=\left(\frac{q'}{y_2y_4}\right)^3=f $
E quindi anche $ ~f $ è un cubo, e via così, fino a dimostrare che anche $ ~d $ è un cubo.
b) Non è sempre vero perchè non riesco a dimostrare che le lettere singole sono cubi. Questo perchè nel primo problema avevo un numero di fattori dispari, nel secondo problema ho un numero di fattori pari. Nel primo problema riuscivo ad accoppiare le lettere consecutive a due a due e ne rimaneva una che era per forza un cubo. Iterando il procedimento più volte dimostravo che tutte le lettere erano cubi. Nel secondo problema, accoppiando le lettere a due a due, non ne avanza nessuna per la quale dimostrare che è un cubo. L'unica cosa che posso fare è dimostrare che i prodotti $ ~ace $, $ ~bdf $, $ ~cf $, $ ~ad $ e $ ~be $ sono cubi.
Va bene come dimostrazione? Secondo voi, quanti punti avrà preso?
Ciao!
