Reticoli complementati

[Sosuke]

Allora... un reticolo si dice complementato se per ogni elemento xVy=1 e x⋀y=0

Perchè allora l'insieme dei divisori di 24 non è complementato mentre l'insieme dei divisori di 70 addirittura è unicamente complementato?

[pic88]

A parte che la tua definizione non sta in piedi... un reticolo è complementato se
per ogni elemento X, esiste Y tale che succede quella roba. Y si dice complementare di X. (Esercizio: dimostrare che allora X è complementare di Y).

Poi è buona norma definire le operazioni di sup e inf. Immagino che in questo caso tu ti riferisca a mcm, ed MCD. Oppure in alternativa definisci la relazione d'ordine associata, che sarebbe in questo caso, $ {a\leq b} $ se $ {a|b} $. In ogni caso basta applicare le definizioni:

prendi il reticolo dei divisori di 24. Il numero 12 ha come possibile complementare solo 24, dato che 12 sup 24 =24, e 12 sup x = 12 se x non è 24. Peccato però che non valga 12 inf 24 =1.

Invece 70 è squarefree, e allora preso un divisore, l'altro pezzo della scomposizione è il suo complementare. Il complementare risulta esser unico. Questo è evidente. Se non lo fosse, possiamo associare ad ogni divisore di 70 un sottoinsieme di {2,5,7} (nel modo ovvio, e associando a 1 il vuoto), dove la relazione di ordine parziale diventa l'inclusione. E allora ho un reticolo distributivo (in quanto isomorfo alle parti di un insieme) e pertanto, essendo complementato, lo è unicamente.

Tutte queste cose non è che stiano così bene nel forum delle olimpiadi, per cui io (nonostante abbia risposto) eviterei di proporre esercizi simili in futuro.

[Sosuke]

edit: hai editato.. spetta che leggo....

[Sosuke]

A parte che la tua definizione non sta in piedi... un reticolo è complementato se
per ogni elemento X, esiste Y tale che succede quella roba. Y si dice complementare di X. (Esercizio: dimostrare che allora X è complementare di Y).

Si perfetto... mi sarò espresso male.... ma intendevo questo....

....
prendi il reticolo dei divisori di 24. Il numero 12 ha come possibile complementare solo 24, dato che 12 sup 24 =24, e 12 sup x = 12 se x non è 24. Peccato però che non valga 12 inf 24 =1.

non capisco cosa intendi dire con 12 sup 24 = 24(cioè devo leggere il sup tra 12 e 24?) e 12 inf 24 = 1 (l'inf tra 12 e 24?)...

Invece 70 è squarefree, e allora preso un divisore, l'altro pezzo della scomposizione è il suo complementare. Il complementare risulta esser unico. Questo è evidente. Se non lo fosse, possiamo associare ad ogni divisore di 70 un sottoinsieme di {2,5,7} (nel modo ovvio, e associando a 1 il vuoto), dove la relazione di ordine parziale diventa l'inclusione. E allora ho un reticolo distributivo (in quanto isomorfo alle parti di un insieme) e pertanto, essendo complementato, lo è unicamente.

boh... non è che capisca assai... ma allora l'inf tra 10 e 70 è 1???

Tutte queste cose non è che stiano così bene nel forum delle olimpiadi, per cui io (nonostante abbia risposto) eviterei di proporre esercizi simili in futuro.

Mi sono permesso di postare visto queste parole:

Se invece l'esercizio non è olimpico, è di Fisica o Informatica? Allora sapete dove va. Se invece è più una curiosità carina, un rompicapo, un indovinello di logica,... , più che un esercizio vero e proprio, allora "Matematica Ricreativa" è un buon posto. Tutto il resto della matematica va in "Matematica non elementare". Quindi, se avete l'esercizio dell'ultimo compito in classe di cui non siete sicuri della soluzione, MnE è il posto che fa per voi. Nel dubbio, postate gli esercizi in MnE. Eventualmente verranno spostati nel posto giusto.

Comunque non vorrei creare polemiche su cosa è giusto postare o no... vorrei capire l'esercizio Intanto ti ringrazio per l'aiuto che mi hai dato fin'ora...

[pic88]

si, con a sup b intendo il sup dei due elementi.

L'inf tra 10 e 70 è 10, perché 10|70.
Il complementare di 10 è 7 infatti.

[Sosuke]

si, con a sup b intendo il sup dei due elementi.

L'inf tra 10 e 70 è 10, perché 10|70.
Il complementare di 10 è 7 infatti.

Ok perfetto... allora ne ho capita un'altra... l'inf e il sup non devono per forza essere il massimo o il minimo del reticolo...

Poi...

12 inf 24 = 12 ????? In quanto 12|24... dunque il complementare di 12 non è 2?

[pic88]

No. tutto quel discorso serve a vedere che 12 non ha complementare. Per risponderti da solo bastava che calcolassi 12 sup 2... ottenendo 12.

[Sosuke]

ma guarda sarò scemo io... ma io non vedo differenza tra il ragionamento che si fa con i divisori di 70 e di divisori di 24...


A quanto pare:
12 inf 24 = 12 in quanto 12|24 però
2 sup 12 = 12 quindi 2 non è il complementare di 12


Ora facciamolo con i divisori di 70
10 inf 70 = 10 in quanto 10|70 però
7 sup 10 = 10 no???

Quindi non è la stessa cosa?

[pic88]

Questo forum insegna che ci sono discussioni che è più dignitoso abbandonare, sia per chi fa domande, sia per chi cerca di rispondere. Se avessi pensato un po' di più, avresti capito da solo quanto sia assurda l'idea che 7 sup 10, cioè il minimo comune multiplo tra 7 e 10, sia 10.

[Sosuke]

Questo forum insegna che ci sono discussioni che è più dignitoso abbandonare, sia per chi fa domande, sia per chi cerca di rispondere. Se avessi pensato un po' di più, avresti capito da solo quanto sia assurda l'idea che 7 sup 10, cioè il minimo comune multiplo tra 7 e 10, sia 10.

oddio.... siamo arrivati alla dignità per 4 numeri Ma sai cosa sia la dignità??? Io conservo un'infinità dignità pur non sapendo fare ste cose.....

Comunque ora ho capito...


Edit: .... penso....

[Marco]

Buoni bimbi, altrimenti vi mando a letto.

Sosuke: il concetto di reticolo è intimamente collegato a quello di ordine. A seconda della struttura di ordine che definisci, ottieni strutture di reticolo diverse.

Quandi si parla di numeri interi e divisibilità, fattorizzazioni e compagnia briscola, l'ordine che si sceglie è di solito quello dato dalla divisibilità ($ a | b $).

Se invece parli di insiemi e sottinsiemi, di solito si usa l'ordine dato dall'inclusione ($ a \subseteq b $).

In altri casi, tipicamente in Analisi, si usa il consueto ordine dei numeri reali ($ a \leqslant b $).

Nel caso tuo, stai evidentemente confondendo l'ordine dato da "$ | $" con quello dato da "$ \leqslant $".

[Sosuke]

Buoni bimbi, altrimenti vi mando a letto.

Sosuke: il concetto di reticolo è intimamente collegato a quello di ordine. A seconda della struttura di ordine che definisci, ottieni strutture di reticolo diverse.

Quandi si parla di numeri interi e divisibilità, fattorizzazioni e compagnia briscola, l'ordine che si sceglie è di solito quello dato dalla divisibilità ($ a | b $).

Se invece parli di insiemi e sottinsiemi, di solito si usa l'ordine dato dall'inclusione ($ a \subseteq b $).

In altri casi, tipicamente in Analisi, si usa il consueto ordine dei numeri reali ($ a \leqslant b $).

Nel caso tuo, stai evidentemente confondendo l'ordine dato da "$ | $" con quello dato da "$ \leqslant $".

Grazie Marco...

mi pare pure di aver capito che se esiste un elemento $ p $ tale che
$ p^2|m $, dove $ p $ è un elemento dell'insieme dei divisori di $ m $, allora il reticolo è sicuramente non complementato....

Al contrario... se il diagramma di hasse di un reticolo è squarefree, allora il reticolo è sicuramente "unicamente complementato"....

corretto?

Per il resto ho ancora un pò di difficoltà a calcolare i complmenti ma vedrò di trovare una soluzione.....