Questo è rivolto ai colleghi del liceo specialmente, e in generale a chi non ha molta pratica con questa roba e ha voglia di farsela:Data una generica successione reale dimostrare che essa possiede una(e a quel punto ovviamente non sola ma anzi..) successione estratta monotona.
Preso dal libro di analisi Cecconi.
Buon lavoro
Successioni estratte
Successioni estratte
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
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Ti sbagli:il fatto che quella successione non converga non implica la falsità della nostra tesi.Difatti piglia l'estratta in cui n è sempre pari o quella in cui è sempre dispari:tale estratta è monotona.Difatti monotona è una funzione o non decrescente o non crescente;dove o è usato in senso inclusivo:ovvero anche se entrambe le proposizioni sono vere;ovvero la funzione è costante
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darkcrystal
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The_Ouroboros
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non ne aveva 2 costanti e convergenti di sottosuccessioni?mark86 ha scritto:Occorre però che sia convergente la successione originale; ad esempio la successione
$ a_n=(-1)^n $
non verifica questa proprietà e infatti non converge.
$ X=\mathbb{R}, x_n = (-1)^n, n_j = 2j => x_{n_j} = (-1)^{2j}=1 $
$ X=\mathbb{R}, x_n = (-1)^n, n_j = 2j+1 => x_{n_j} = (-1)^{2j+1}=-1 $
Costanti e convergenti
Ciauz
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Soluzione che fa forse uso di un po' troppi "cannoni", mi sa che c'è un modo più rapido per arrivare a conclusione. Comunque così mi è venuta, e la scrivo lo stesso. 
Se $ \{x_n\} $ è una successione reale, una sottosuccessione è in breve una successione della forma $ \{x_{n_k}\} $ ove $ \{n_k\} $ è una successione di indici crescente.
Distinguiamo ora due casi. Il primo, è che la successione data $ \{x_n\} $ sia non limitata. Supponiamo che sia non limitata superiormente, il caso della non limitatezza inferiore è analogo, mutatis mutandis. Dunque, possiamo scrivere che per ogni $ M $, esiste un indice $ m $ tale che $ x_n > M $. Equivalentemente, possiamo scrivere che per ogni $ M \geq M_0 $, esiste un indice $ m $ tale che $ x_n > M $, ove $ M_0 $ è una costante fissata (se non ci credete provate a mostrarlo rigorosamente). Ora, costruiamo la sottosuccessione richiesta. Poniamo $ n_1=1 $. Poi, induttivamente: fissiamo $ i \in \mathbb{N}, i > 1 $ arbitrario e supponiamo di aver costruito i primi $ i $ termini di $ \{x_{n_k}\} $; grazie a quanto detto sopra, abbiamo che per ogni $ M \geq x_{n_i} $, esiste un indice $ m $ tale che $ x_m > M $. Sicuramente $ m > n_i $, altrimenti si arriverebbe ad un evidente assurdo. Scegliendo allora $ M=x_{n_i} $, abbiamo che $ x_m > x_{n_i} $. Possiamo allora definire $ n_{i+1}=m $. Induttivamente, abbiamo così costruito una sottosuccessione $ \{x_{n_k}\} $ che risulta essere monotona crescente.
Il secondo caso, è che la successione data sia limitata. Allora, applicando il Teorema di Bolzano-Weierstrass, estraiamo da essa una sottosuccessione convergente. Per non tirarci dietro notazioni pesanti, supponiamo direttamente che $ \{x_n\} $ sia convergente e cerchiamo di costruire una sottosuccessione monotona (ovviamente, una sottosuccessione di una sottosuccessione è una sottosuccessione della successione di partenza!). La definizione di successione convergente ad un limite $ \ell $ ci dice che, per ogni $ \varepsilon > 0 $, esiste un indice $ m $ tale che per ogni $ n \geq m $, $ |x_n - \ell| \leq \varepsilon $. Ora, notiamo che i due insiemi $ A=\{x_n : x_n > \ell\} $ e $ B=\{x_n : x_n < \ell\} $ non possono essere entrambi finiti a meno che la successione non sia definitivamente costante (caso banale in cui si vede subito quale sottosuccessione monotona estrarre...) Uno dei due, quindi, è sicuramente infinito. Supponiamo WLOG che sia $ A $. Mostriamo ora che $ \inf A = \ell $. Intanto, per definizione dell'insieme $ A $, $ \ell $ risulta essere un minorante. Per la definizione di estremo inferiore ("massimo dei minoranti"), allora sicuramente $ \ell \leq \inf A $. Ora, supponiamo per assurdo che $ \ell < \inf A $. Allora possiamo scrivere $ \inf A = \ell + \varepsilon_0 $ per un certo $ \varepsilon_0 > 0 $. Applicando la definizione di limite con $ \varepsilon = \varepsilon_0 $, si trova un indice $ m $ tale che, per ogni $ n \geq m $, $ \ell - \varepsilon_0 \leq x_n \leq \ell + \varepsilon_0 = \inf A $. Siccome $ A $ è infinito per ipotesi, dovrà esistere un indice $ n' \geq m $ tale che $ x_{n'} \in A $. Dunque, per quell'elemento varrà anche che $ x_{n'} \leq \ell + \varepsilon_0 = \inf A $, assurdo perché $ \inf A $ è un minorante. Dunque abbiamo mostrato anche che $ \ell \geq \inf A $, da cui possiamo concludere che $ \inf A = \ell $ [in realtà forse non serve dimostrare questa cosa, ma vabeh]. A questo punto, definiamo la successione di indici che ci serve per costruire la sottosuccessione $ \{x_{n_i}\} $, in questo modo: per ogni $ i $, sia $ n_{i+1}=\min \{j \in \mathbb{N} : j > n_i, \ell < x_j < x_{n_i} \} $. La definizione è buona, perché grazie alla definizione di estremo inferiore, si ha che per ogni $ \varepsilon > 0 $ esiste un elemento $ x_j > \ell $ (cioè, dell'insieme $ A $) tale che $ x_j < \ell + \varepsilon $. Scegliendo $ \varepsilon = x_{n_i} - \ell $ si trova l'elemento $ x_j $ che ci serve affinché la definizione data sopra sia, appunto, buona. Risulta dunque costruita l'opportuna successione crescente di indici $ \{n_i\} $, da cui anche la sottosuccessione monotona decrescente $ x_{n_i} $, come volevamo.
Ah, solo una postilla. Io ho usato Bolzano-Weierstrass per arrivare a conclusione, ma in realtà questo fatto ne è una generalizzazione. Infatti, se da una successione limitata è possibile estrarre una successione monotona, allora quella successione estratta è per forza convergente. Meno male che doveva essere un esercizio "da liceali per impratichirsi", Bolzano-Weierstrass è un teoremone!
Se $ \{x_n\} $ è una successione reale, una sottosuccessione è in breve una successione della forma $ \{x_{n_k}\} $ ove $ \{n_k\} $ è una successione di indici crescente.Distinguiamo ora due casi. Il primo, è che la successione data $ \{x_n\} $ sia non limitata. Supponiamo che sia non limitata superiormente, il caso della non limitatezza inferiore è analogo, mutatis mutandis. Dunque, possiamo scrivere che per ogni $ M $, esiste un indice $ m $ tale che $ x_n > M $. Equivalentemente, possiamo scrivere che per ogni $ M \geq M_0 $, esiste un indice $ m $ tale che $ x_n > M $, ove $ M_0 $ è una costante fissata (se non ci credete provate a mostrarlo rigorosamente). Ora, costruiamo la sottosuccessione richiesta. Poniamo $ n_1=1 $. Poi, induttivamente: fissiamo $ i \in \mathbb{N}, i > 1 $ arbitrario e supponiamo di aver costruito i primi $ i $ termini di $ \{x_{n_k}\} $; grazie a quanto detto sopra, abbiamo che per ogni $ M \geq x_{n_i} $, esiste un indice $ m $ tale che $ x_m > M $. Sicuramente $ m > n_i $, altrimenti si arriverebbe ad un evidente assurdo. Scegliendo allora $ M=x_{n_i} $, abbiamo che $ x_m > x_{n_i} $. Possiamo allora definire $ n_{i+1}=m $. Induttivamente, abbiamo così costruito una sottosuccessione $ \{x_{n_k}\} $ che risulta essere monotona crescente.
Il secondo caso, è che la successione data sia limitata. Allora, applicando il Teorema di Bolzano-Weierstrass, estraiamo da essa una sottosuccessione convergente. Per non tirarci dietro notazioni pesanti, supponiamo direttamente che $ \{x_n\} $ sia convergente e cerchiamo di costruire una sottosuccessione monotona (ovviamente, una sottosuccessione di una sottosuccessione è una sottosuccessione della successione di partenza!). La definizione di successione convergente ad un limite $ \ell $ ci dice che, per ogni $ \varepsilon > 0 $, esiste un indice $ m $ tale che per ogni $ n \geq m $, $ |x_n - \ell| \leq \varepsilon $. Ora, notiamo che i due insiemi $ A=\{x_n : x_n > \ell\} $ e $ B=\{x_n : x_n < \ell\} $ non possono essere entrambi finiti a meno che la successione non sia definitivamente costante (caso banale in cui si vede subito quale sottosuccessione monotona estrarre...) Uno dei due, quindi, è sicuramente infinito. Supponiamo WLOG che sia $ A $. Mostriamo ora che $ \inf A = \ell $. Intanto, per definizione dell'insieme $ A $, $ \ell $ risulta essere un minorante. Per la definizione di estremo inferiore ("massimo dei minoranti"), allora sicuramente $ \ell \leq \inf A $. Ora, supponiamo per assurdo che $ \ell < \inf A $. Allora possiamo scrivere $ \inf A = \ell + \varepsilon_0 $ per un certo $ \varepsilon_0 > 0 $. Applicando la definizione di limite con $ \varepsilon = \varepsilon_0 $, si trova un indice $ m $ tale che, per ogni $ n \geq m $, $ \ell - \varepsilon_0 \leq x_n \leq \ell + \varepsilon_0 = \inf A $. Siccome $ A $ è infinito per ipotesi, dovrà esistere un indice $ n' \geq m $ tale che $ x_{n'} \in A $. Dunque, per quell'elemento varrà anche che $ x_{n'} \leq \ell + \varepsilon_0 = \inf A $, assurdo perché $ \inf A $ è un minorante. Dunque abbiamo mostrato anche che $ \ell \geq \inf A $, da cui possiamo concludere che $ \inf A = \ell $ [in realtà forse non serve dimostrare questa cosa, ma vabeh]. A questo punto, definiamo la successione di indici che ci serve per costruire la sottosuccessione $ \{x_{n_i}\} $, in questo modo: per ogni $ i $, sia $ n_{i+1}=\min \{j \in \mathbb{N} : j > n_i, \ell < x_j < x_{n_i} \} $. La definizione è buona, perché grazie alla definizione di estremo inferiore, si ha che per ogni $ \varepsilon > 0 $ esiste un elemento $ x_j > \ell $ (cioè, dell'insieme $ A $) tale che $ x_j < \ell + \varepsilon $. Scegliendo $ \varepsilon = x_{n_i} - \ell $ si trova l'elemento $ x_j $ che ci serve affinché la definizione data sopra sia, appunto, buona. Risulta dunque costruita l'opportuna successione crescente di indici $ \{n_i\} $, da cui anche la sottosuccessione monotona decrescente $ x_{n_i} $, come volevamo.
Ah, solo una postilla. Io ho usato Bolzano-Weierstrass per arrivare a conclusione, ma in realtà questo fatto ne è una generalizzazione. Infatti, se da una successione limitata è possibile estrarre una successione monotona, allora quella successione estratta è per forza convergente. Meno male che doveva essere un esercizio "da liceali per impratichirsi", Bolzano-Weierstrass è un teoremone!
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Vabbè visto che è stato risolto posto una soluzione molto bella fatta a esercitazione:
Diciamo che $ x_n $ è powa se $ x_n \geq x_k $ per ogni $ k\geq n $. Distinguiamo 2 casi:
1) ci sono infiniti powa: allora la successione dei powa è monotona decrescente
2) c'è un numero finito di powa: sia $ x_h $ il powa con indice maggiore. Allora $ x_{n_1}\equiv x_{h+1} $ non è powa, quindi esiste $ n_2>n_1 $ tale che $ x_{n_2}\geq x_{n_1} $, ma neanche $ x_{n_2} $ è powa, quindi posso trovare $ n_3>n_2 $ tale che $ x_{n_3}\geq x_{n_2} $, e così via mi costruisco la successione $ x_{n_1},x_{n_2},x_{n_3},\dots $ che è monotona crescente.
Diciamo che $ x_n $ è powa se $ x_n \geq x_k $ per ogni $ k\geq n $. Distinguiamo 2 casi:
1) ci sono infiniti powa: allora la successione dei powa è monotona decrescente
2) c'è un numero finito di powa: sia $ x_h $ il powa con indice maggiore. Allora $ x_{n_1}\equiv x_{h+1} $ non è powa, quindi esiste $ n_2>n_1 $ tale che $ x_{n_2}\geq x_{n_1} $, ma neanche $ x_{n_2} $ è powa, quindi posso trovare $ n_3>n_2 $ tale che $ x_{n_3}\geq x_{n_2} $, e così via mi costruisco la successione $ x_{n_1},x_{n_2},x_{n_3},\dots $ che è monotona crescente.
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