voi come lo risolvereste? (congruenze)
voi come lo risolvereste? (congruenze)
$ \dispaystyle {(102^{73} + 55)}^{87} \equiv x (mod 111)
$
qual'è il valore di x?
qual'è il valore di x?
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
caspita è vero (era vero visto che ora sono a 112 con questo messaggio)...Jacobi ha scritto:e qst e il tuo massaggio numero 111
( cmq io applicherei il teorema cinese...)
Bè diciamo che l'idea del teorema cinese l'ho avuta anche io, ma poi per svilupparla...
insomma...
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
e ci siamoJacobi ha scritto:svolgendo rapidamente i calcoli ( puo darsi che abbia sbagliato ) viene:
$ x \equiv 1 ( mod 3) $
e qui come ci arrivi?come arrivi a risolvere la congruenza in mod 37Jacobi ha scritto:$ x \equiv -1 ( mod 37 ) $
No dovrebbe esser 46 e comunque come li combini i risultati?Jacobi ha scritto: Quindi $ x= 73 $
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
Scusate...Io ci provo, anche se nn ne sono completamente sicuro...{scusate la scrittua ma nn ho ancora imparato il LaTeX}
allora x congruo a 1 (mod3) e su questo non ci piove
poi credo che sia x congruo a 18 - 9^73 ovvero 9+9-9^73
quindi 9+3^2 - 3^146 da cui 9+ (3+3^73)(3-3^73)
ora mi diventa 9+ 3(3+3^73)(1-3^72)
che sviluppando 9+3(3+3^73)(1+3^36)(1-3^36)...(1+3^9)(1-3^9)
si vede che 1+3^9 congruo a 0 (mod 37) da cui deriva x congruo a 9 (mod 37)
ora abbiamo
x congruo a 1 (mod 3)
x congruo a 9 (mod 37)
da cui x=46
Is That Right???I Hope So...
Shade...
allora x congruo a 1 (mod3) e su questo non ci piove
poi credo che sia x congruo a 18 - 9^73 ovvero 9+9-9^73
quindi 9+3^2 - 3^146 da cui 9+ (3+3^73)(3-3^73)
ora mi diventa 9+ 3(3+3^73)(1-3^72)
che sviluppando 9+3(3+3^73)(1+3^36)(1-3^36)...(1+3^9)(1-3^9)
si vede che 1+3^9 congruo a 0 (mod 37) da cui deriva x congruo a 9 (mod 37)
ora abbiamo
x congruo a 1 (mod 3)
x congruo a 9 (mod 37)
da cui x=46
Is That Right???I Hope So...
Shade...
Ultima modifica di Shade il 17 feb 2008, 21:24, modificato 1 volta in totale.
Is Now Or Never And Tonight Is All Or Nothing
In base a cosa?Shade ha scritto: poi credo che sia x congruo a 18 - 9^73 ovvero 9+9-9^73
Allora mettiamoci daccordo...
parti dal fatto che vuoi risolvere questo?E poi?
$ \displaystyle (102^{73}+55))^{87} \equiv x (mod 37) $
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
teorema cinese del resto... ( credo shade intendesse dire $ x\equiv 46 ( mod 111 ) $ )alexba91 ha scritto:non riesco a capire questo passaggio, come colleghi le 2 cose?Shade ha scritto: x congruo a 1 (mod 3)
x congruo a 9 (mod 37)
da cui x=46
Is That Right???I Hope So...
Shade...
l'arte di lavorare con le congruenze...angus89 ha scritto:e comunque come li combini i risultati?
( cmq rifacendo i calcoli mi viene $ x \equiv 9 ( mod 37 ) $ come a Shade, da cui si arriva a $ x \equiv 46 ( mod 111 ) $ )
MIND TORNA CON NOI
Bè si è quello che mi manca...l'arte nell'usare le congruenze...ma qualche suggerimento o qualche consiglio lo potete dare no?Jacobi ha scritto: l'arte di lavorare con le congruenze...
( cmq rifacendo i calcoli mi viene $ x \equiv 9 ( mod 37 ) $ come a Shade, da cui si arriva a $ x \equiv 46 ( mod 111 ) $ )
Tipo io per risolvere
$ \dispaystyle (102^{73}+55)^{87} \equiv x (mod 3) $
Applico il piccolo teorema di fermat e poi un pò di calcoli fino a stabilire che
$ \dispaystile x \equiv 1 (mod 3) $
Per quanto riguarda
$ \dispaystyle (102^{73}+55)^{87} \equiv x (mod 37) $
Cosa posso fare?
Tipo applicando Fermat posso scrivere
$ \dispaystyle (102^{73}+55)^{15} \equiv x (mod 37) $
E poi?
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
Cominci dal calcolarti $ 102^{73} \pmod {37} $.
Ad esempio:
$ 102\equiv 28 \pmod{37} $
Ti calcoli poi l'ordine di 28 modulo 27, e vale che:
$ 102^{73}\equiv 102^{73-kord} \pmod {37} $ che dovrebbe essere più facile da calcolare.
Quanto hai ricavato la base fai la stessa cosa con l'esponente 87, o anche come dici te col teorema di fermat.
Ad esempio:
$ 102\equiv 28 \pmod{37} $
Ti calcoli poi l'ordine di 28 modulo 27, e vale che:
$ 102^{73}\equiv 102^{73-kord} \pmod {37} $ che dovrebbe essere più facile da calcolare.
Quanto hai ricavato la base fai la stessa cosa con l'esponente 87, o anche come dici te col teorema di fermat.
-
- Messaggi: 706
- Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
- Località: Chiavari
Premetto che non ho letto tutta la discussione, però vi consiglierei di rifare un po' di conti... sia a me (il che conta poco) sia a Mathematica (il che conta già di più) viene $ x \equiv 10 \pmod {111} $
Ciao!
Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
Membro dell'EATO
confermo x=46
E' la soluzione che riporta il testo...a meno che non sia sbagliata...
Comunque con calma ora mi rifaccio i calcoli
E' la soluzione che riporta il testo...a meno che non sia sbagliata...
Comunque con calma ora mi rifaccio i calcoli
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui