potenze di 2 per un numero primo

[angus89]

Allora...
Credo che questo problema sia abbastanza semplice ma non riesco ad andare avanti...

Allora...si vuole dimostrare che se $ \dispaystyle 2^{n}-1 $ è un numero primo allora $ \dispaystyle n $ è necessariamente un numero primo...

Allora...
E' facile dimostare che$ \dispaystyle n $non può essere un numero pari (diverso da 2) perchè in tal caso sarebbe
$ \dispaystyle \\ n=2k \\ 2^{2k}-1=(2^{k}-1) \cdot (2^{k}+1) $

Pertanto è evidente che nel caso $ \dispaystyle n $ sia un numero pari allora $ \dispaystyle 2^{n}-1 $ è scomponibile, pertanto non può essere primo...

Faccio notare un'altra cosa...
$ \dispaystyle 2^{n}-1 $ altro non è che una serie geometrica
$ \dispaystyle 2^{n}-1 = 1+2^{2}+2^{3}+...+2^{n-1} $

Non sò quanto può essere utile...
Io mi sto cimentando...

Sarebbe interessante vedere se n primo implica o meno $ \dispaystyle 2^{n}-1 $primo...e dimostare...

[pic88]

Puoi anche dimostrare che se n è composto, 2^n-1 è composto, perché è differenza di potenze ad indice comune. Cioè, scomporre 2^n-1 come (2-1)(serie geometrica) non aiuta perché 2-1=1, però se n=hk allora...

Ovviamente n primo non implica 2^n-1 primo, perché 2^11-1=2047=89*23 mi pare.

[hydro]

penso che qui tu possa trovare qualcosa di interessante a proposito della questione...

[angus89]

PER CHI VUOLE CONTINUARE A CIMENTARSI NEL PROBLEMA NON LEGGA QUESTO POST
(mi riferisco soprattutto a chi non è molto pratico di tdn dato che credo ci sia un modo molto semplice per arrivare alla dimostrazione, chissà magari il mio)

Per gli altri...accetto correzioni ma non ironia o cose simili...al limite evitate di postare...

Allora...il ragionamento è questo...


Per prima cosa ci accertiamo che esistano numeri primi che abbiano la forma $ \dispaystyle 2^{n}-1 $...
$ \dispaystyle \\ n=5 \\ 2^{5}-2=31 $

31 è primo.
C'è un teorema che afferma se esiste un numero primo con una determinata forma allora ne esistono infiniti con la stessa forma...in questo caso con la forma $ \dispaystyle 2^{n}-1 $

Nel post precedente abbiamo dimostrato che $ \dispaystyle n $ deve essere dispari.
Pertanto ammettiamo che $ \dispaystyle n $ non sia primo, ma risulti il prodotto di due numeri (non per forza primi).
$ \dispaystyle \\ 2^{n}-1 \\ n=k \cdot h $

Questi due numeri non possono essere entrambi pari perchè genererebbero un numero pari.
Non possono essere uno pari e uno dispari perchè genererebbero un numero pari.
Pertanto questi due numeri devono essere entrami dispari...
Pertanto sarebbe più corretto affermare che
$ \dispaystyle \\ 2^{n}-1 \\ n=(2k+1) \cdot (2h+1) \\ 2^{(2k+1) \cdot (2h+1)}-1 $
A questo punto ricorriamo alla differenza di potenze dispari, o per chi la vuol vedere in un altro modo, alla sommatoria di una serie geometrica.
$ \dispaystyle \\ x^{n}-1=1+x+x^{2}+...+x^{n-1} $

Nel nostro caso abbiamo:
$ \dispaystyle \\ 2^{(2k+1) \cdot (2h+1)}-1 \\ t=2^{2k+1} \\ t^{2h+1}-1=(t-1) \cdot (1+t+t^{2}+...+t^{2h}) $

Effettuato il cambio di variabile torniamo alla principale
$ \dispaystyle \\ t=2^{2k+1} \\ $
$ \dispaystyle \\ 2^{(2k+1) \cdot (2h+1)}-1 =(2^{2k+1}-1) \cdot (1+2^{2k+1}+2^{2(2k+1)}+ $...$ \dispaystyle \\+2^{2h(2k+1)}) $

Pertanto è evidente che se $ \dispaystyle n $ non è primo allora
$ \dispaystyle 2^{n}-1 $
è scomponibile, quindi non è primo.

Allora deve essere $ \dispaystyle n $ primo affinche $ \dispaystyle 2^{n}-1 $ sia primo

[alexba91]

PER CHI VUOLE CONTINUARE A CIMENTARSI NEL PROBLEMA NON LEGGA QUESTO POST
(mi riferisco soprattutto a chi non è molto pratico di tdn dato che credo ci sia un modo molto semplice per arrivare alla dimostrazione, chissà magari il mio)

Per gli altri...accetto correzioni ma non ironia o cose simili...al limite evitate di postare...

Allora...il ragionamento è questo...


Per prima cosa ci accertiamo che esistano numeri primi che abbiano la forma $ \dispaystyle 2^{n}-1 $...
$ \dispaystyle \\ n=5 \\ 2^{5}-2=31 $


31 è primo.
C'è un teorema che afferma se esiste un numero primo con una determinata forma allora ne esistono infiniti con la stessa forma...in questo caso con la forma $ \dispaystyle 2^{n}-1 $

Nel post precedente abbiamo dimostrato che $ \dispaystyle n $ deve essere dispari.
Pertanto ammettiamo che $ \dispaystyle n $ non sia primo, ma risulti il prodotto di due numeri (non per forza primi).
$ \dispaystyle \\ 2^{n}-1 \\ n=k \cdot h $

Questi due numeri non possono essere entrambi pari perchè genererebbero un numero pari.
Non possono essere uno pari e uno dispari perchè genererebbero un numero pari.
Pertanto questi due numeri devono essere entrami dispari...
Pertanto sarebbe più corretto affermare che
$ \dispaystyle \\ 2^{n}-1 \\ n=(2k+1) \cdot (2h+1) \\ 2^{(2k+1) \cdot (2h+1)}-1 $
A questo punto ricorriamo alla differenza di potenze dispari, o per chi la vuol vedere in un altro modo, alla sommatoria di una serie geometrica.
$ \dispaystyle \\ x^{n}-1=1+x+x^{2}+...+x^{n-1} $

Nel nostro caso abbiamo:
$ \dispaystyle \\ 2^{(2k+1) \cdot (2h+1)}-1 \\ t=2^{2k+1} \\ t^{2h+1}-1=(t-1) \cdot (1+t+t^{2}+...+t^{2h}) $

Effettuato il cambio di variabile torniamo alla principale
$ \dispaystyle \\ t=2^{2k+1} \\ $
$ \dispaystyle \\ 2^{(2k+1) \cdot (2h+1)}-1 =(2^{2k+1}-1) \cdot (1+2^{2k+1}+2^{2(2k+1)}+ $...$ \dispaystyle \\+2^{2h(2k+1)}) $

Pertanto è evidente che se $ \dispaystyle n $ non è primo allora
$ \dispaystyle 2^{n}-1 $
è scomponibile, quindi non è primo.

Allora deve essere $ \dispaystyle n $ primo affinche $ \dispaystyle 2^{n}-1 $ sia primo

non sono un esperto di tdn, anzi sonoa nch io come te all inizio, pero se posso dire la mia, secondo me il tuo ragionamento è corretto ed è anche bella come dimostrazione.(avevo fatto il tuo stesso ragionamento)

[Jacobi]

premetto che nn ho letto la discussione...
per dimostrare il risultato basta notare che se n e nn primo, allora n=ab, con a e b diversi da n ed 1, quindi $ 2^n-1 = 2^{ab}-1 = (2^a)^b-1^b $ e poiche $ x-y|x^k-y^k $abbiamo che$ 2^a-1|2^n-1 $ quindi $ 2^a-1 $ e un fattore nn banale di $ 2^n-1 $, ergo nn e primo ( per n composto )

[pic88]

C'è un teorema che afferma se esiste un numero primo con una determinata forma allora ne esistono infiniti con la stessa forma...

Che teorema è?

[Carlein]

Ho un osservazione banalerrima da fare e una domanda:l'osservazione è che dal fattarello delle progressioni geometriche consegue che per qualsiasi altro numero x intero maggiore di 2 allora $ x^n-1 $ con n maggiore di 1 non è mai primo(non mi linciate lo so che è banale ma solo per completezza l'ho messa ).La domanda è ma quel teorema che dice angus che se un numero primo si può scrivere in una forma allora ne esistono infiniti in tale forma è vero? se consideriamo la semplice funzione kn con k intero positivo primo e n variabile nei naturali essa darà un primo soltanto quando n=1.Sono sicuro di aver frainteso quello che diceva angus e aspetto correzioni...
Ciao

[angus89]

premetto che nn ho letto la discussione...
per dimostrare il risultato basta notare che se n e nn primo, allora n=ab, con a e b diversi da n ed 1, quindi $ 2^n-1 = 2^{ab}-1 = (2^a)^b-1^b $ e poiche $ x-y|x^k-y^k $abbiamo che$ 2^a-1|2^n-1 $ quindi $ 2^a-1 $ e un fattore nn banale di $ 2^n-1 $, ergo nn e primo ( per n composto )

praticamente è la mia dimostrazione in due righe...

[EvaristeG]

No Carlein, quel teorema non esiste.

[angus89]

No...allora...mi sono espresso male io scusate...volevo dire che per alcune forme è dimostrabile...
Nel senso è dimostrabile ad esempio che esistono infiniti primi che hanno la forma $ \dispaystyle 4x-1 $ (se volete posto la dimostrazione)
Oppure è dimostrabile che ci sono infiniti numeri primi nella forma $ \dispaystyle 2^{n}-1 $...ecc ecc

Tipo come l'altro post che ho aperto...chiedo di dimostrare che esistono infiniti primi nella forma $ \dispaystyle 6k-1 $

[FrancescoVeneziano]

... è dimostrabile che ci sono infiniti numeri primi nella forma $ \dispaystyle 2^{n}-1 $

No, non è nota una dimostrazione di questo fatto. I primi di quella forma si chiamano primi di Mersenne, ne sono noti 44 fino ad oggi, ed è congetturato che siano infiniti ma non c'è ancora una dimostrazione.

[angus89]

... è dimostrabile che ci sono infiniti numeri primi nella forma $ \dispaystyle 2^{n}-1 $

No, non è nota una dimostrazione di questo fatto. I primi di quella forma si chiamano primi di Mersenne, ne sono noti 44 fino ad oggi, ed è congetturato che siano infiniti ma non c'è ancora una dimostrazione.

caspio...ora lo so...ero convinto fossero infiniti...