Anelli e ideali primari e decomponibili

[dorothyhung]

Sia A un anello commutativo unitario e $ a $ un ideale in $ A $. Un ideale primo $ p $ si dice associato ad $ a $ se esiste una $ x \in A $ tale che $ p=r(a:x) $. $ a:x $ indica il quoziente e $ r $ il radicale.

Dimostrare che:
1. se $ a $ primario allora esiste un unico ideale primo ad esso associato

2. se esiste un unico ideale primo associato ad $ a $ e $ a $ è decomponibile allora $ a $ è anche primario.

Stavo leggendo un libro di algebra che mi hanno regalato e ho trovato questo esercizio proposto, ma non riesco a risolvere. Mi sembrava banale, ma non riesco a concludere. Magari qualcuno è disposto a darmi una risposta. grazie

[publiosulpicio]

Premetto che non ho letto attentamente il testo dell'esercizio né tantomeno ho provato a farlo, ma mi pare molto strano che $ (a:x) $ indichi il quoziente di due ideali (tra l'altro con $ x $ indichi l'ideale principale generato da $ x $?). Mi sembra più probabile (anche per l'argomento) che $ (a:x) $ indichi il trasportatore di $ x $ in $ a $. Prova con questa definizione!