Estremo inferiore di una funzione in 2 variabili

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Estremo inferiore di una funzione in 2 variabili

Messaggio da Mondo » 06 gen 2008, 14:42

Sia f(x,y)= x^4+y^4+xy
Si determini l'estremo inferiore di f(x,y) su tutto il piano.

Ora quest'estremo inferiore è palesemente il minimo (che calcolo facilmente imponendo che il gradiente della funzione sia nullo), ma come posso fare a dimostrarlo?

Grazie mille
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jordan
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Messaggio da jordan » 06 gen 2008, 15:10

soluzione 1, con le derivate parziali, credo, viene $ x(4^4x^8+1)=0 $ da cui$ x=y=0 $ che è estremante basta prendere unpunto a caso per vericare che è minimo, soluzione orribile

soluzione due: dimostriamo che in modulo si ha $ x^4+y^4 \ge \mid xy \mid $, wlog $ x, y \in R^+ $ e per le medie si ha $ \displaystyle \sqrt[4]{\frac{x^4+y^4}{2}} \ge \sqrt[2]{xy} $ cioè: $ \displaystyle x^4+y^4 \ge 2{(xy)}^2 \ge xy $ e si ha uguaglianza sse $ x=y $ da cui il minimo di $ 2x^4+x^2 $ data che è a termini positivi si ha quando$ x=y=0 $
la cosa carina è ke puoi estenderla a n variabili cioè:
$ \forall a_i \in R e n\in N $ si ha $ \sum_{1\le i\le n}{{a_i}^4}+\prod_{1\le i \le n}{a_i}\ge 0 $ e si ha uguaglianza sse $ a_i=0 \forall i\in [1,n] $

bye :wink:
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Messaggio da Mondo » 06 gen 2008, 18:50

mmm...
la seconda soluzione non l'ho capita granchè ma cmq... il minimo è -1/8 ottenuto per (x,y)=(-1/2, +1/2)...

Per quanto riguarda la soluzione 1, io so già che quello è un minimo relativo, però potrebbe darsi, visto che l'insieme è illimitato, che la funzione abbia un estremo inferiore che NON è minimo. Io vorrei dimostrare che non sussiste quest'ultimo caso...
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Messaggio da jordan » 06 gen 2008, 19:53

ho semplicemente sbagliato iconti..se sommi le derivate parziali e fattorizzi esce $ (x+y)(4(x^2+y^2-xy)+1)=0 $ da cui unica soluzione $ x=-y $ sostituendo ti esce $ 2x^4-x^2 $ che ha minimo in +-1/2 per ovvi motivi..

l'errore al mio ragionamento prima era che ho considerato vera la disuguaglianza $ 2{(xy)}^2\ge(xy) $ per ogni (xy) reale e invece guarda caso usciva la stessa disuguaglianza della soluzione "giusta", bye :wink:

edit(post con darkrystal contemporaneo) :lol:
Ultima modifica di jordan il 06 gen 2008, 20:13, modificato 2 volte in totale.
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Messaggio da darkcrystal » 06 gen 2008, 19:58

Boh, premetto che di questa roba so poco, ma tento di dare il mio piccolo contributo.

Con le derivate parziali viene fuori il sistema $ y=-4x^3 \mbox{ e } x=-4y^3 $, che dà la simpatica equazione $ y=2^8y^9 $ con soluzioni reali $ y \in \left\{0,-\frac12,\frac12\right\} $.

EDIT: No, avevo scritto ancora più cavolate di quanto pensassi... ci lavoro ancora un po', va...

@jordan: $ 2(xy)^2 \geq (xy) $ non è necessariamente vera...
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Messaggio da darkcrystal » 06 gen 2008, 20:08

Dunque, questo potrebbe funzionare ma prendetelo con le molle.
Se $ |x|>1 $ e $ |y|>1 $, valgono le disuguaglianze di jordan, dunque la funzione è positiva, mentre noi sappiamo che ha almeno un punto in cui è negativa, quindi sotto queste condizioni (ripeto, $ |x|>1 $ e $ |y|>1 $) non ci può essere estremo inferiore.

Se invece prendi la f definita su $ \left[-1,1\right] \times \left[-1,1\right] $, che è un compatto, l'immagine sarà ancora un compatto, che quindi contiene tutti i suoi punti di accumulazione: perciò se ha un estremo inferiore, è il minimo

Spero che questa vada...

Ciao!
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mistergiovax

Messaggio da mistergiovax » 06 gen 2008, 21:15

Si può dimostrare che "x^4+y^4" è un infinito di ordine maggiore di "xy" e quindi:

dato "a" adeguato, raggio dell'intorno circolare con centro l'origine si ha che "x^4+y^4>xy" per ogni "b>a" definitivamente vero e quindi la funzione diverge a +infinito. Quindi non ci sono altri minimi (anche perché la funzione è continua).

Spero di nn aver detto cavolate :wink: !

Chiedo scusa ai moderatori, ma avevo scritto col "LaTeX" e il messaggio non si postava (non so il perché)! Ho dovuto quindi levare il LaTeX e, per farci capire qualcosa ho messo gli apici.

Ciao

(un saluto particolare a jordan!)

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Messaggio da jordan » 06 gen 2008, 21:29

all'infinito ci siamo..ma chi ti assicura che tra 0 e a (che nel nostro caso sarebbe 1/2) non ci siano altri minimi?
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Messaggio da Mondo » 06 gen 2008, 21:35

@ darkcrystal: mi sa che ti sei perso un caso. Se |x|>1 e |y|<1 (e viceversa, che però si può eludere osservando che f(x,y)=f(y,x) ). Tra l'altro questo è il caso di maggiore interesse perchè di solito quando l'estremo inferiore non è minimo si ha dipendenza di y da x (y=kx, con k reale, di solito) e si fa tendere all'infinito una delle due variabili...

Cmq :D :D per la soluzione molto olimpica di jordan!!
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Messaggio da Mondo » 06 gen 2008, 21:51

@ jordan Quando sei riuscito a stabilire che tra "a" e infinito non si ha questo benedetto estremo inferiore, è fatta!
Tra 1/2 e 0 la funzione non "scoppia" ed è sempre continua, quindi l'inf è minimo e lo trovo annullando il gradiente...

Spero di non aver detto sciocchezze :roll:
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Messaggio da EvaristeG » 06 gen 2008, 21:57

Caro Mondo, ti consiglio di leggere le regole di utilizzo del forum che puoi trovare qui e le regole della sezione Matematica non elementare che puoi trovare qui. Questo forum è dedicato alle Olimpiadi di Matematica, non alla matematica in generale o ad aiutare studenti in difficoltà.
Puoi provare a cercare aiuto su altri siti come questo.
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Messaggio da Mondo » 06 gen 2008, 22:42

:oops: pardon...
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Xamog
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Messaggio da Xamog » 09 gen 2008, 19:32

Al di là delle indubbie finalità non olimpiche di Mondo (so benissimo da dove viene quel problema :lol:) che giustamente hanno attirato le ire di EvaristeG, devo dire che questo topic non andrebbe abbandonato.
Infatti, a guardarlo bene, si tratta di un esercizio perfettamente compatibile con il programma olimpico, ma che non potrà mai comparire in una gara soltanto perchè troppo standard.
Proporrei quindi di rivitalizzare questo topic con 2 scopi
  • trovare una soluzione all'interno del programma olimpico "basic";
  • trovare una soluzione con strumenti più avanzati (ma bovinamente standard), anche e soprattutto per far piazza pulita di tutti gli errori classici si analisi matematica emersi nei post precedenti, e che, se lasciati "impuniti", finiranno prima o poi per comparire in un compito alle IMO.

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Messaggio da jordan » 09 gen 2008, 20:13

Xamog ha scritto:Infatti, a guardarlo bene, si tratta di un esercizio perfettamente compatibile con il programma olimpico, ma che non potrà mai comparire in una gara soltanto perchè troppo standard.
l'hai detto tu, se non usi l'analisi, nn è standard, non ti pare che ticontraddici?
Xamog ha scritto:trovare una soluzione all'interno del programma olimpico "basic"

se ti aggiungo che di analisi non so niente ti basta?e poi ho provato, ho fatto un errore da prima liceo, ma con strumenti standard
Xamog ha scritto:trovare una soluzione con strumenti più avanzati (ma bovinamente standard), anche e soprattutto per far piazza pulita di tutti gli errori classici si analisi matematica emersi nei post precedenti, e che, se lasciati "impuniti", finiranno prima o poi per comparire in un compito alle IMO.[/list]
dimmi un po, quali sono questi errori di analisi emersi nei post precedenti?
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Messaggio da salva90 » 09 gen 2008, 20:15

jordan ha scritto:
Xamog ha scritto:Infatti, a guardarlo bene, si tratta di un esercizio perfettamente compatibile con il programma olimpico, ma che non potrà mai comparire in una gara soltanto perchè troppo standard.
l'hai detto tu, se non usi l'analisi, nn è standard, non ti pare che ticontraddici?
in gara non metteranno mai un esercizio risolvibile IN MODO STANDARD con l'analisi, anche se esistono soluzioni olimpiche elementari.
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]

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