Radici e grado

[Russell]

Per gli studenti delle scuole superiori un po' curiosi... un teorema scontato e ben noto... da dimostrare...

Dimostrare che un polinomio di grado $ n $ non nullo a coefficienti in $ \mathbb{R} $ ha al più $ n $ radici in $ \mathbb{R} $ (se contate con la loro molteplicità).

[l'Apprendista_Stregone]

Spero di non essere io a semplificare troppo il problema...
Vediamo la mia soluzione:
Per assurdo supponiamo esista un polinomio a coefficenti reali $ P(x) $ di grado $ n $ con $ m>n $ radici reali.
Allora, per Ruffini $ P(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_m)r(x) $.
Ma il prodotto $ (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_m) $ ha grado $ m>n $. Assurdo!
Quindi il polinomio deve avere al più $ n $ radici reali.

Che ne pensate?

[Russell]

Dimostrazione semplice ma efficace!
Io preferisco l'induzione, ma anche questo modo funziona.

[EvaristeG]

Solo una precisazione:

.... il prodotto $ \displaystyle (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_m) $ ha grado $ \displaystyle m>n $....

Il "grado" di cui parliamo è definito per i polinomi, non per i prodotti (cioè non esiste il "grado" di un prodotto). Dunque è il polinomio $ \displaystyle (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_m) $ che ha grado $ \displaystyle m>n $, che è esattamente quello che volevi dire tu, e si conclude.

Beh, scusa, il prodotto di monomi E' un polinomio ... come dire che non ha senso dire "la parità del prodotto $ ab $" in quanto la parità è una proprietà dei numeri e non dei prodotti ... il prodotto è un'operazione interna all'anello dei polinomi e per metonimia si dice l'operazione e se ne intende il risultato.
Inoltre, una delle proprietà fondamentali del grado è proprio che sia additivo sui prodotti...

Va bene la precisione, ma questi sono cavilli inutili.

[l'Apprendista_Stregone]

Io preferisco l'induzione

Russell potresti postare la tua soluzione?
Fa sempre bene vedere l'induzione all'opera...
(No problems per il fraintendimento e grazie ad E.G per aver chiarito la cosa )

[Russell]

Chiedo scusa...
Ho frainteso il significato della frase, interpretandola in modo diverso da quello che invece era... Con "grado del prodotto" si intendeva chiaramente "grado del polinomio prodotto", e io ho interpretato "grado dell'operazione prodotto", il che sarebbe stato davvero diverso, dal momento che nel primo significato il prodotto è un elemento di $ \mathbb{R}[x] $ (perfetto!), nel secondo caso è un elemento di $ \displaystyle \left\{f: \mathbb{R}[x] \times \mathbb{R}[x]\longrightarrow \mathbb{R}[x] \right\} $ (i prodotti di più di due polinomi sono riconducibili a questo insieme di funzioni).

Quindi tutto ok! Scusate ancora!

Comunque i cavilli non sono inutili: molti professori li pretendono!

Un saluto a EvaristeG !!

[Russell]

Supponiamo di aver già ben definito il grado di un polinomio non nullo come numero naturale.
Indichiamo con $ \partial P\left(x \right) $ il grado del polinomio $ P\left(x \right) $.

Salvo specificazioni, lavoriamo in $ \mathbb{R} $

Facciamo induzione su $ n=\partial P\left(x \right) $.
Se $ \displaystyle n=1 $ allora $ \displaystyle P\left(x \right) =ax+b $ con $ \displaystyle a \neq 0 $. La radice è unica: $ \displaystyle x=-\frac{b}{a} $.

Sia $ \partial P\left(x \right)=n+1 $. Se $ P\left(x \right) $ non ha radici abbiamo già la tesi (se interpretiamo correttamente "al più").
In caso contrario indichiamo con $ \alpha $ una delle radici (forse l'unica, forse no) e per il teorema di Ruffini scriviamo $ P\left(x \right)=\left(x- \alpha \left) S \left( x \right) $ con $ S \left( x \right) $ opportuno polinomio tale che $ \partial S\left(x \right)=n $.
Per l'ipotesi induttiva $ S \left( x \right) $ ha al più $ n $ radici, e dunque $ P \left( x \right) $ ne ha al più $ n+1 $ (possiede tutte le radici di $ S \left( x \right) $e inoltre $ \alpha $).
Notare che non è vero in generale che $ P \left( x \right) $ ha una radice in più di $ S\left( x \right) $: $ \alpha $ potrebbe avere molteplicità algebrica maggiore di $ 1 $, e dunque essere radice anche di $ S \left( x \right) $