Cubo spugnoso e curve continue

[killing_buddha]

Sia

$ C = [0,1]^3 \cap \mathbb{Q}^3 $

(non mi viene in mente nulla di meglio, sono i punti del cubo di lato 1 che hanno tutte e tre le coordinate razionali)

Si chiede di mostrare che non esiste una curva continua che connette due punti di C, e che resti tutta in C.
Quanto appena dimostrato equivale a dire che C non è connesso per archi?

[hydro]

Supponiamo che esista una curva $ \phi $ siffatta e che connetta due punti a e b di C. Sia $ d_0 $ la distanza tra a e b nella metrica euclidea. Per la continuità di $ \phi $, ogni bolla chiusa centrata in a di raggio $ r<d_0 $ sufficientemente piccolo interseca il supporto di $ \phi $. Allora prendiamo un $ r_0 $ sufficientemente piccolo e consideriamo la famiglia $ \{B_i \}_{i \in [0,r_0]} $ di bolle chiuse centrate in a. Si ha che $ B_i \cap \supp (\phi) \neq \{ \} $ (scusate volevo fare l'insieme vuoto ma non so come si fa in Latex) ed inoltre $ B_i \cap supp (\phi) \neq B_j \cap supp (\phi) $ $ \forall i \neq j $ perchè ogni intersezione contiene solo punti a distanza $ i $ da $ a $. Ma allora il supporto della curva contiene un'infinità non numerabile di punti distinti (infatti esiste un'applicazione iniettiva da $ [0,r_0] $ al supporto di $ \phi $), ed allora non può giacere interamente in C, che è numerabile.

Sospetto che quanto mostrato non sia equivalente alla non connessione per archi. Infatti la connessione per archi richiede anche che la curva continua che connette i due punti "si possa percorrere in tempo finito", ovvero che sia definita su un intervallo compatto di $ \mathbb{R} $. Immagino che la risposta dipenda anche da quel che intendi con "connettere due punti", comunque non so se ho detto una cavolata o esista qualche bel controesempio...

[killing_buddha]

Sì, mi convince.. solo una cosa: per "bolla" tu intendi la palla data dalla norma euclidea?
$ B_{p,r} = \{x \in M \mid d(x,p) \le r\} $
oppure solo i punti sul bordo della palla chiusa?
$ B_{p,r} = \{x \in M \mid d(x,p) = r\} $

Quando dici

$ B_i \cap spt\phi \neq B_j \cap spt\phi \;\;\forall i\neq j~ $ perchè ogni intersezione contiene solo punti a distanza i da a

intendi che, per ogni $ i\le j~ $, si ha $ B_i \subseteq B_j~ $ oppure che la loro intersezione è proprio vuota? Non cambia molto ai fini della dimostrazione ma non avevo mai sentito parlare di "bolle"

Grazie

[EvaristeG]

Beh, di solito si parla di palle o di sfere ... bolle è un po' buffo.
Poi, dovete dirmi cos'è una curva continua per voi, visto che per me una curva continua nello spazio X è un'applicazione continua
$ \phi:[0,1]\to X $
Se avete un'altra definizione, dite pure...ah comunque, visto che C non è connesso, è difficile che sia connesso per archi...

[killing_buddha]

Poi, dovete dirmi cos'è una curva continua per voi, visto che per me una curva continua nello spazio X è un'applicazione continua
$ \phi:[0,1]\to X $
Se avete un'altra definizione, dite pure.

Peano te lo saprebbe dire meglio di me...
Però intendevo quello che intendi tu, forse anche qualcosa di meno: a quanto ho capito la definizione "canonica" coinvolge per forza l'intervallo [0;1]... diciamo da un qualche intervallo [a;b] in X, se la cosa non è troppo scandalosa

[EvaristeG]

Ok, d'altra parte connesso per archi vuol dire che tra ogni due punti esiste una curva continua, quindi non vedo ragioni per il tuo dubbio...il "tempo di percorrenza" è un concetto che ha senso per curve C^1, ma allora devi avere una struttura differenziabile e cose simili ... qui invece si parla solo di cose continue.

[Nonno Bassotto]

il "tempo di percorrenza" è un concetto che ha senso per curve C^1, ma allora devi avere una struttura differenziabile e cose simili ... qui invece si parla solo di cose continue.

Beh, non per fare il puntiglioso ma... sicuro?

[EvaristeG]

Era per semplificare ... certo non ne puoi parlare per una curva continua a caso ... deve essere rettificabile.

[hydro]

Sì, mi convince.. solo una cosa: per "bolla" tu intendi la palla data dalla norma euclidea?
$ B_{p,r} = \{x \in M \mid d(x,p) \le r\} $
oppure solo i punti sul bordo della palla chiusa?
$ B_{p,r} = \{x \in M \mid d(x,p) = r\} $

Quando dici

$ B_i \cap spt\phi \neq B_j \cap spt\phi \;\;\forall i\neq j~ $ perchè ogni intersezione contiene solo punti a distanza i da a

intendi che, per ogni $ i\le j~ $, si ha $ B_i \subseteq B_j~ $ oppure che la loro intersezione è proprio vuota? Non cambia molto ai fini della dimostrazione ma non avevo mai sentito parlare di "bolle"

Grazie

Effettivamente è necessario considerare proprio quest'insieme $ B_{p,r} = \{x \in M \mid d(x,p) = r\} $, il bordo della palla chiusa (ho usato il termine bolla perchè lo usa la mia prof di analisi 3, e a furia di ascoltare le sue lezioni l'ho adottato anch'io involontariamente, ma intendo la palla). In realtà nel topic intendevo erroneamente l'insieme $ B_{p,r} = \{x \in M \mid d(x,p) \le r\} $ ma in effetti non va affatto bene rispetto a quello che intendevo poi, ovvero che l'intersezione di bordi distinti è proprio vuota. Quindi assumi che per bolla chiusa io intendessi il suo bordo.

Per quanto riguarda la definizione di curva continua, credo che definire una curva chiusa su [a,b] o su [0,1] non sia molto diverso, visto che si può sempre portare un intervallo nell'altro con un'affinità, che è un diffeomorfismo tra gli intervalli, e quindi non cambia la classe di equivalenza della curva. Comunque alla luce di quanto ha giustamente detto EvaristeG quanto mostrato è proprio la non connessione per archi...