somma di radici ^2
somma di radici ^2
trovare il minimo di $ a^2+b^2 $ se il polinomio $ x^4+ax^3+bx^2+ax+1 $ ha soluzioni reali.
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mistergiovax
Vediamo(sperando di non fare errori di calcolo):
x=0 non è soluzione e, quindi posso dividere il tutto per x^2 ottenendo:
$ x^2+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2} = 0 $
$ (x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b = 0 $
Dopodiché pongo $ w = x+1/x $ sapendo che
$ x^2+1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2 $ ottengo:
$ w^2+aw+b-2=0 $ cioè
$ w = \displaystyle \frac{-a [piu'-o-meno] (a^2-4b+8)^{1/2}}{2} $
Il delta deve essere nonnegativo e quindi mi studio questa funzioncina a due variabili $ f(a,b)=a^2-4b+8 $ lungo il luogo degli zeri trovo il minimo.
Ho scritto 'piu' o meno' a lettere perché non so come si fa col tex
x=0 non è soluzione e, quindi posso dividere il tutto per x^2 ottenendo:
$ x^2+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2} = 0 $
$ (x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b = 0 $
Dopodiché pongo $ w = x+1/x $ sapendo che
$ x^2+1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2 $ ottengo:
$ w^2+aw+b-2=0 $ cioè
$ w = \displaystyle \frac{-a [piu'-o-meno] (a^2-4b+8)^{1/2}}{2} $
Il delta deve essere nonnegativo e quindi mi studio questa funzioncina a due variabili $ f(a,b)=a^2-4b+8 $ lungo il luogo degli zeri trovo il minimo.
Ho scritto 'piu' o meno' a lettere perché non so come si fa col tex
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darkcrystal
- Messaggi: 706
- Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
- Località: Chiavari
Noto che posso supporre a>=0, perchè se (a,b) è una coppia minima, (-a,b) è ancora una coppia minima e basta cambiare di segno le soluzioni (che dunque restano reali)
Ragiono poi come mistergiovax, e arrivo (con tanti conti) a vedere che le soluzioni hanno sotto radice le quantità $ (\pm a + \sqrt{8+a^2-4b})^2 - 16 $. Ne viene: $ |\pm a + \sqrt{8+a^2-4b}| \geq 4 \Rightarrow a + \sqrt{8+a^2-4b} \geq 4 $. Risolvendo la disequazione trovo o $ a \geq 4 $ o $ 2a-b \geq 2 \Rightarrow a \geq b/2+1 $.
Sostituendo nella relazione da minimizzare, $ a^2+b^2 \geq b^2+(\frac{b}{2}+1)^2 =5/4b^2+b+1 $ che rispetto a b è una parabola, con minimo in b=-2/5
In effetti $ b=-\frac{2}{5}, a=\frac{4}{5} $ ha soluzioni reali (per essere precisi, -1 come radice doppia), e a questa coppia corrisponde $ a^2+b^2=\frac{4}{5} $.
Ragiono poi come mistergiovax, e arrivo (con tanti conti) a vedere che le soluzioni hanno sotto radice le quantità $ (\pm a + \sqrt{8+a^2-4b})^2 - 16 $. Ne viene: $ |\pm a + \sqrt{8+a^2-4b}| \geq 4 \Rightarrow a + \sqrt{8+a^2-4b} \geq 4 $. Risolvendo la disequazione trovo o $ a \geq 4 $ o $ 2a-b \geq 2 \Rightarrow a \geq b/2+1 $.
Sostituendo nella relazione da minimizzare, $ a^2+b^2 \geq b^2+(\frac{b}{2}+1)^2 =5/4b^2+b+1 $ che rispetto a b è una parabola, con minimo in b=-2/5
In effetti $ b=-\frac{2}{5}, a=\frac{4}{5} $ ha soluzioni reali (per essere precisi, -1 come radice doppia), e a questa coppia corrisponde $ a^2+b^2=\frac{4}{5} $.
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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mistergiovax