Se conosciamo le lunghezze dei lati di un triangolo possiamo conoscerne l\' area grazie alla formula di erone.
<BR>Se conosciamo le aree delle faccie di un tetraedro possiamo conoscerne il volume?
<BR>Secondo me no, ma se qualcuno avesse idee in merito gli sarei molto grato.
<BR>Thanks
tetraedro ed Erone
Moderatore: tutor
NON rispondete a questa domanda! si tratta di un esercizio proposto in un concorso telematico di matematica x licei... le soluzioni sono da spedire domani... da mercoledì postate pure le risposte, NON prima!
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<BR>PS: vergogna dino, ho dei problemi ank\'io su questo es, ma i concorsi si fanno da soli, non si kiede aiuto dove capita
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<BR>PS: vergogna dino, ho dei problemi ank\'io su questo es, ma i concorsi si fanno da soli, non si kiede aiuto dove capita
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
ehm oramai è tardi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
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<BR>dovevi iscriverti a dicembre... cmq il sito è:
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<BR>http://www.mat.unimi.it/~giochi
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<BR>dovevi iscriverti a dicembre... cmq il sito è:
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<BR>http://www.mat.unimi.it/~giochi
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
eheh...dopo due giorni di spremitura si è fatta trovare (la soluzione)...
<BR>il 6 febbraio c\'è una gara individuale...non c\'è bisogno di iscriversi... per partecipare alle gare a squadre bisogna frequentare un liceo della lombardia... il sito che ti ha indicato alex ti da tutte le informazioni...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: alberto il 27-01-2003 18:14 ]
<BR>il 6 febbraio c\'è una gara individuale...non c\'è bisogno di iscriversi... per partecipare alle gare a squadre bisogna frequentare un liceo della lombardia... il sito che ti ha indicato alex ti da tutte le informazioni...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: alberto il 27-01-2003 18:14 ]
mi correggo...mi hanno fatto notare che non sta scritto da nessuna parte che bisogna essere iscritti ad un liceo della lombardia...però c\'è scritto questo:
<BR>Le squadre <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> lombarde <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> che meglio figureranno dopo le 5 puntate saranno invitate a partecipare a una successiva gara coinvolgente squadre di diverse regioni.
<BR>Le squadre <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> lombarde <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> che meglio figureranno dopo le 5 puntate saranno invitate a partecipare a una successiva gara coinvolgente squadre di diverse regioni.
beh...penso che ora si possa postare la soluzione senza compromettere il risultato della gara...io l\'ho risolto così:
<BR>la risposta è no. per dimostrarlo basta trovare un controesempio: dimostriamo che 2 tetraedri le cui facce hanno aree uguali possono avere volumi diversi.
<BR>innanzitutto diciamo che si può sempre costruire un tetraedro che abbia 4 facce uguali, se le facce sono triangoli acutangoli (chiamiamo questi tipi di tetraedri \"tetraedri monotoni\"). infatti prendendo il triangolo di base e facendo passare per ogni vertice la parallela al lato opposto, nella regione interna alle tre rette (cioè quella a cui appartiene il triangolo di base) si ottengono quattro triangoli congruenti disposti come nello sviluppo di un tetraedro, appunto, \"monotono\".
<BR>dimostriamo che due tetraedri \"monotoni\" con aree di base uguali possono avere altezze e quindi volumi diversi:
<BR>costruiamo il tetraedro \"monotono\" che ha per facce tutti triangoli equilateri di lato 1. la sua area di base sarà 1/2*rad(3) e la altezza sarà (rad(2))/rad(3)
<BR>sappiamo che l\'altezza di un tetraedro \"monotono\" non può essere maggiore del minimo dei suoi lati, quindi se costruiamo un tetraedro \"monotono\" che ha per base un triangolo acutangolo di area 1/2*rad(3), ma con un lato molto piccolo (piccolo a piacere) siamo sicuri che la sua altezza non supererà la lunghezza di questo lato, quindi, per una scelta opportuna della lunghezza del lato, l\'altezza sarà minore di (rad(2))/rad(3).
<BR>in conclusione possiamo costruire un tetraedro che abbia le facce della stessa area di quelle del tetraedro regolare ma volume inferiore.
<BR>se ciò è possibile è chiaro che non può esistere una formula che in base alla misura delle aree delle faccie stabilisca in modo univoco il suo volume.
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<BR>la risposta è no. per dimostrarlo basta trovare un controesempio: dimostriamo che 2 tetraedri le cui facce hanno aree uguali possono avere volumi diversi.
<BR>innanzitutto diciamo che si può sempre costruire un tetraedro che abbia 4 facce uguali, se le facce sono triangoli acutangoli (chiamiamo questi tipi di tetraedri \"tetraedri monotoni\"). infatti prendendo il triangolo di base e facendo passare per ogni vertice la parallela al lato opposto, nella regione interna alle tre rette (cioè quella a cui appartiene il triangolo di base) si ottengono quattro triangoli congruenti disposti come nello sviluppo di un tetraedro, appunto, \"monotono\".
<BR>dimostriamo che due tetraedri \"monotoni\" con aree di base uguali possono avere altezze e quindi volumi diversi:
<BR>costruiamo il tetraedro \"monotono\" che ha per facce tutti triangoli equilateri di lato 1. la sua area di base sarà 1/2*rad(3) e la altezza sarà (rad(2))/rad(3)
<BR>sappiamo che l\'altezza di un tetraedro \"monotono\" non può essere maggiore del minimo dei suoi lati, quindi se costruiamo un tetraedro \"monotono\" che ha per base un triangolo acutangolo di area 1/2*rad(3), ma con un lato molto piccolo (piccolo a piacere) siamo sicuri che la sua altezza non supererà la lunghezza di questo lato, quindi, per una scelta opportuna della lunghezza del lato, l\'altezza sarà minore di (rad(2))/rad(3).
<BR>in conclusione possiamo costruire un tetraedro che abbia le facce della stessa area di quelle del tetraedro regolare ma volume inferiore.
<BR>se ciò è possibile è chiaro che non può esistere una formula che in base alla misura delle aree delle faccie stabilisca in modo univoco il suo volume.
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