chi mi aiuta con questi esercizi?
1) Sia V un K spazio vettoriale e sia E c V un sottospazio di V diverso da V e diverso dall'insieme vuoto. Provare che V-E e (V-E)U(0) non sono sottospazi di V.
2) Sia V un K spazio vettoriale e siano V1,V2 c V sottospazi di V.
V1 U V2 è sottospazio di V <=> V1 c V2 oppure V2 c V1.
un grazie a chi mi risponde Wink
esercizi di algebra lineare
Il formalismo non è il mio forte però posso provare a darti un'idea.
Per il punto 1 se E è un sottospazio di V vuol dire che contiene lo zero, quindi il suo complementare V-E non può contenere lo zero ergo non è un sottospazio. Per (V-E) U 0 non so cosa dire, potrei fare un esempio in V=R2. E è una retta quindi lo span di un vettore, V-E per essere un sottospazio dovrebbe essere lo span di un'altro vettore cioè un'altra retta, oppure tutto il piano. Ma sappiamo che ciò non è vero poichè V-E è tutto il piano escluso E.
Per il punto 2 è facile verificare che l'unione di due sottospazi non è mai un sottospazio (per questo si sono inventati la somma diretta). Infatti l'unione conterrà tutti gli elementi dello span di V1 + gli el. dello span di V2, ma non gli elementi dello span di (V1+V2). Non so come spiegarlo meglio quindi faccio un esempio. Due rette incidenti nell'origine sono due sottospazi di R2 e sono generati dai due vettori. Se sommo i due vettori moltiplicati per qualche coefficiente opportuno otterò almeno un elemento che non appartiene a nessuna delle due rette. Infatti non per niente lo span di due vettori distinti è un piano (se nessun vettore è contenuto nello span dell'altro).
L'implicazione <== dovrebbe essere banale. Penso che si dimostri negando una delle due affermazioni. Infatti se V1 e V2 sono distinti la loro unione non è un sottospazio poichè esiste almeno un vettore k1V1+k2V2 che non è contenuto nello span di (V1+V2).
Non sono stato molto chiaro ma non so come spiegarlo meglio. Spero che qualcuno mi corregga...
Per il punto 1 se E è un sottospazio di V vuol dire che contiene lo zero, quindi il suo complementare V-E non può contenere lo zero ergo non è un sottospazio. Per (V-E) U 0 non so cosa dire, potrei fare un esempio in V=R2. E è una retta quindi lo span di un vettore, V-E per essere un sottospazio dovrebbe essere lo span di un'altro vettore cioè un'altra retta, oppure tutto il piano. Ma sappiamo che ciò non è vero poichè V-E è tutto il piano escluso E.
Per il punto 2 è facile verificare che l'unione di due sottospazi non è mai un sottospazio (per questo si sono inventati la somma diretta). Infatti l'unione conterrà tutti gli elementi dello span di V1 + gli el. dello span di V2, ma non gli elementi dello span di (V1+V2). Non so come spiegarlo meglio quindi faccio un esempio. Due rette incidenti nell'origine sono due sottospazi di R2 e sono generati dai due vettori. Se sommo i due vettori moltiplicati per qualche coefficiente opportuno otterò almeno un elemento che non appartiene a nessuna delle due rette. Infatti non per niente lo span di due vettori distinti è un piano (se nessun vettore è contenuto nello span dell'altro).
L'implicazione <== dovrebbe essere banale. Penso che si dimostri negando una delle due affermazioni. Infatti se V1 e V2 sono distinti la loro unione non è un sottospazio poichè esiste almeno un vettore k1V1+k2V2 che non è contenuto nello span di (V1+V2).
Non sono stato molto chiaro ma non so come spiegarlo meglio. Spero che qualcuno mi corregga...
allora mi spiego meglio, mi servirebbe una dimostrazione formale dei due esercizio, per quanto riguarda il secondo esercizio qualcuno me l'ha spiegato, per quanto riguarda il primo quella di V-E è esatta, però mi servirebbe una dimostrazione su V-EU(0), l'unico consiglio che ha dato il professore è di dimostrarlo per assurdo cioè porre falsa la tesi e arrivare a una contraddizione con l'ipotesi. Qualcuno saprebbe fare la dimostrazione formale dell'esercizio 1 parte 2?
Scrivo semplicemente V-E ma capirete che se c'è lo 0 o meno poco cambia...
Supponiamo che V-E sia uno spazio vettoriale
$ v \in E $, $ w \in V-E $, $ v \neq w $
$ v+w $ può stare in E o V-E, perchè V è uno spazio vettoriale
1) $ v+w=u $, $ u \in E $
$ v+(-u)=-w $
-u starà anche in E e -w essendo la somma tra due vettori di E starà anch'esso in E, e quindi anche w perchè è il suo opposto ASSURDO
2) $ v+w=u $, $ u \in V-E $
$ w+(-u)=-v $
-v è la somma di due vettori di V-E quindi sta in V-E, quindi ci sta anche il suo opposto ASSURDO
V-E non è uno spazio vettoriale
PS: Questo forum non è fatto per postare gli esercizi che lascia il prof...
Supponiamo che V-E sia uno spazio vettoriale
$ v \in E $, $ w \in V-E $, $ v \neq w $
$ v+w $ può stare in E o V-E, perchè V è uno spazio vettoriale
1) $ v+w=u $, $ u \in E $
$ v+(-u)=-w $
-u starà anche in E e -w essendo la somma tra due vettori di E starà anch'esso in E, e quindi anche w perchè è il suo opposto ASSURDO
2) $ v+w=u $, $ u \in V-E $
$ w+(-u)=-v $
-v è la somma di due vettori di V-E quindi sta in V-E, quindi ci sta anche il suo opposto ASSURDO
V-E non è uno spazio vettoriale
PS: Questo forum non è fatto per postare gli esercizi che lascia il prof...
[b]Membro Club Nostalgici[/b]
Catania 10/10/07
Io: Perché vuoi fare il matematico?
Lui: Se sei un dottore e qualcuno sta male ti svegliano la notte, se sei un ingegnere e crolla un ponte ti rompono ma se sei un matematico [b]CHI TI CERCA???[/b]
Catania 10/10/07
Io: Perché vuoi fare il matematico?
Lui: Se sei un dottore e qualcuno sta male ti svegliano la notte, se sei un ingegnere e crolla un ponte ti rompono ma se sei un matematico [b]CHI TI CERCA???[/b]
Allora ... gli affari vostri li fate tramite mp, ok?
Non è una chat, è un forum e agli altri utenti non interessa delle vostre beghe (anche se farsi i c***i degli altri è divertente...).
Discutete quanto volete di algebra lineare, ma non di chi blocca chi su msn o di quali atteggiamenti vi garbano e quali no.
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