polinomio...e la sua forma...

[angus89]

Secondo me di esercizi sui polinomi non se ne fanno mai abbastanza...
Questo esercizo l'ho risolto ma mi piacerebbe avere la conferma...quindi posto il problema e la soluzione...accetto critiche e altre soluzioni... Very Happy

Dire quale forma deve avere un polinomio $ P(x) $ affinchè per ogni numero reale x si abbia

$ 1-x^4 \le P(x) \le 1+x^4 $


La mia soluzione
Passaggi algebrici
$ 1-x^4 \le P(x) \le 1+x^4 $
$ x^4 \le P(x)-1 \le x^4 $

ricordiamo che se $ -a \le x^2 \le a $ allora $ x^2 - a^2\geq 0 $
quindi possiamo affermare che
$ (P(x)-1)^2 - x^8 \geq 0 $
ovvero questo equivale a dire che il quadrato del polinomio deve avere almeno un elemento in $ x^8 $
quindi la forma del polinomio è
$ P(x)=a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4 $
il tutto con a_0!=0 (ovvero diverso da 0...non sò scriverlo in latex...)

[l'Apprendista_Stregone]

Pare che ambedue abbiamo una certa passione per i polinomi
viewtopic.php?t=9262

[EUCLA]

ricordiamo che se $ -a \le x^2 \le a $ allora$ x^2 - a^2\geq 0 $

è minore, non maggiore, così era troppo facile

[angus89]

ricordiamo che se $ -a \le x^2 \le a $ allora$ x^2 - a^2\geq 0 $

è minore, non maggiore, così era troppo facile

hai ragione!!!
Ke cavolo di errore!!!
Ke stupido ke sono!!!

cavolo!!!
va bè...rivedendo...


La mia soluzione
Passaggi algebrici
$ 1-x^4 \le P(x) \le 1+x^4 $
$ x^4 \le P(x)-1 \le x^4 $

grazie al mio errore notiamo che
$ -a \le x^2 \le a $ allora$ x^2 - a^2\le 0 $
quindi possiamo affermare che
$ (P(x)-1)^2 - x^8\le 0 $
ovvero questo equivale a dire che il quadrato del polinomio non deve avere nemmeno un elemento in $ x^8 $
quindi la forma del polinomio è
$ P(x)=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 $
oppure deve essere un polinomio di grado inferiore

E' giusta così?
Ormai non sono sicuro più di niente...

[EUCLA]

scusa se ti smonto la sol per la seconda volta ma non sono convinta riguardo al
non deve avere nemmeno un elemento in x^8 ...
prova a pensare che il coefficiente di quello che devi sottrarre è 1 e
1)siamo nei reali
2)nessuno ti dice che $ P(x) $ sia monico.

[angus89]

si hai ragione...cavolo le cose si complicano sempre più...
Se comincio a pensare a valori reali (e il polinomio non monico) allora la mia soluzione non è corretta...
Perchè anche se comparissero termini di 8 grado nel polinomio $ a_0 $ potrebbe benissimo valere $ 1/2 $...
Ci devo pensare...forse un'idea ce l'ho già...ma ho il cervello in fiamme...tutto il pomeriggio a studiare Seneca...uff...
Va bè ci proverò domani...
Non mi và di scrivere ancora una cosa di cui non sono sicuro...

[angus89]

non ce la faccio...chi mi aiuta?

[EUCLA]

Allora...vediamo un pò cosa vien fuori:

$ -x^4\le P(x)\le x^4 $ che è equivalente a :

$ -1 \le \displaystyle\frac{P(x)}{x^4} \le 1 $

Da qui si può sapere qualcosa sul grado del polinomio. Infatti se $ P(x) $ è di grado minore di 4, la disuguaglianza non vale per tutte le x ma solo per un intervallo.
Quindi $ deg[P(x)]\le 4 $

Per come deve essere poi è work in progress