Condensatore sopra ad una vasca

[Pigkappa]

Un condensatore piano con armature rettangolari è messo in posizione verticale con la parte inferiore a contatto con un liquido dielettrico. La distanza tra i piatti è molto minore delle dimensioni delle armature; gli effetti dovuti alla capillarità sono trascurabili, così come l'abbassamento del liquido nella vasca*. Sono noti l'intensità iniziale del campo elettrico $ \displaystyle E $ nel condensatore, la densità $ \displaystyle \rho $ del liquido, la costante dielettrica $ \displaystyle \epsilon_r $ del liquido, l'altezza $ H $ del condensatore.
Determinare a quale altezza $ \displaystyle h $ arriva il liquido nel condensatore, e spiegare perchè il liquido si alza.




*Questo lo dico perchè Salva cerca di considerare l'abbassamento dell'oceano, in alcuni problemi...

[iactor]

Dal fatto che si parla di valore iniziale di E immagino che il condensatore sia da supporre isolato (e quindi in condizione di carica costante), l'esercizio sarebbe diverso se il condensatore vosse tenuto a d.d.p. costante ma non mi sembra questo il caso.
Correggetemi se sbaglio.

by fisico brutto sporco e cattivo

[ummagumma]

Variante simpatica di un problema classico ma non banale. Privo di latex, nomino eps la cost dielettrica nel vuoto, epsr la costante relativa, con d la distanza

E' necessario valutare la forza di risucchio con cui un dielettrio è attratto nel condensatore. Tale forza è generata dalla non uniformità del campo elettrostatico intorno ai bordi del condensatore, che agisce sulle cariche superficiali indotte sul dielettrico.

Inizialmente il campo vale E= Q/(eps*S), per cui S = Q/(eps*E).
Il sistema può essere pensato come due condensatori in parallelo, uno di lunghezza h con dielettrico, l'altro senza, con lunghezza H-h. La capacità equivalente è C:

C = eps*epsr*S*h/(d*H) + eps*S*(H-h)/(d*H)

Mettendo in evidenza:

C = (eps*S/(d*H))*(H + h*(epsr - 1);

Inoltre, l'energia potenziale del condensatore vale U:

U = Q^2/(2*C)
U= Q^2*d*H/(2*eps*S*(H + h*(epsr -1))

Di qui, derivando l'energia rispetto alla variabile h, ottengo la forza:

F= - dU/dh

ottenendo un valore mostruoso, che presenta anche la carica Q, che suppondo data e costante, del tipo:

F = E*q*d*H/2*(epsr-1)/(H + h*(epsr -1))^2

uguagliando tale forza con il peso dell'acqua (g*S*d*rho) si ottiene poi la h.

probabilmente, pigkappa, manca un dato, almeno la carica...non so se si possa svolgere con considerazioni energetiche, ma non credo.
Benchè illegibile..dite se la mia soluzione (calcoli a parte) è concettualmente valida

[iactor]

Anche secondo me manca un dato. O la carica iniziale o l'altra dimensione del condensatore (quella che esce dalla pagina per intenderci) che a meno di errori nei conti non riesco ad eliminare, da fisico preferirei quest'ultima che pone molti meno problemi di misura.
Adesso aggiungiamo gli effetti della capillarità.....
Siano Gamma la tensione superficiale del dielettrico e Theta l'angolo di conttatto tra questo e le superfici del conduttore........

By fisico brutto, sporco e cattivo

[Pigkappa]

non so se si possa svolgere con considerazioni energetiche, ma non credo.

Tentar non nuoce .

Se aiuta, si può supporre h<<H, ma non è indispensabile e non semplifica poi di molto le cose. Non mancano dati.

[iactor]

Beh l'hai fatto con considerazioni energetiche.....
Io avevo scritto anche l'energia potenziale gravitazionale, sommato e cercato il minimo derivando ma è esattamente la stessa cosa.
O ho sbagliato dei conti io o nella soluzione entra una delle due tra carica iniziale e lunghhezza del condensatore (o superficie che è la stessa cosa).

per quanto riguarda la capillarità tieni l'unica approssimazione che serve è l>>d dove l è la lunghezza e d la distanza tra le armature.

Dopo di che aggiungi una forza verso l'alto (indipendente da h) pari a 2l*gamma*cos (theta)

ciao

Fisico brutto, sporco e cattivo[/quote]

[Pigkappa]

Beh l'hai fatto con considerazioni energetiche.....
Io avevo scritto anche l'energia potenziale gravitazionale, sommato e cercato il minimo derivando ma è esattamente la stessa cosa.
O ho sbagliato dei conti io o nella soluzione entra una delle due tra carica iniziale e lunghhezza del condensatore (o superficie che è la stessa cosa).

per quanto riguarda la capillarità tieni l'unica approssimazione che serve è l>>d dove l è la lunghezza e d la distanza tra le armature.

Dopo di che aggiungi una forza verso l'alto (indipendente da h) pari a 2l*gamma*cos (theta)

ciao

Fisico brutto, sporco e cattivo

[/quote]

Vi spiego come si fa: scrivendo l'energia nel condensatore con il liquido ad altezza h ed uguagliandola a quella iniziale si ottiene un'equazione in h che ha solo un numero finito di soluzioni. Per gli altri valori di h quindi non ci può essere equilibrio energetico.

[iactor]

scusate per l'errore, (preparare un compito di biologia sui basidiomiceti provoca brutti scherzi) non manca nessun dato in realtà.

Le dimensioni (larghezza e distanza tra le armature) che avevo introdotto si semplificano nel conto finale e la soluzione si può esprimere solo in funzione dei dati

resta il fatto che l'equazione mi risulta di terzo grado in h

Probabilmente la soluzione reale corrispondente ad un equilibrio stabile è una sola

2rgh=HE(epsilonr-1)/(h(epsilonr-1)+H)^2
ciao

by fisico brutto,sporco e cattivo