limite carino
limite carino
Forse ben noto ma lo posto comunque
trovare il limite per $ n \to \infty $ di
$ e^{-n} \left ( 1 + \frac{n}{1!} + \frac{n^2}{2!} + \ldots + \frac{n^n}{n!} \right ) $
trovare il limite per $ n \to \infty $ di
$ e^{-n} \left ( 1 + \frac{n}{1!} + \frac{n^2}{2!} + \ldots + \frac{n^n}{n!} \right ) $
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essendo $ e^{x} = ( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \dots) $
$ \lim_{n \to \infty} (e^{-n}) ( e^{n}) = 1 $
o almeno credo.
$ \lim_{n \to \infty} (e^{-n}) ( e^{n}) = 1 $
o almeno credo.
Ultima modifica di ttommy8488 il 15 set 2007, 12:10, modificato 1 volta in totale.
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Re: limite carino
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Ultima modifica di Jordano il 15 set 2007, 16:09, modificato 1 volta in totale.
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Uhm secondo me fa 0 per Cesaro, dove Cesaro (non mi ricordo se I, II o III) è:
se $ lim \frac{ a_{n+1} -a_n }{b_{n+1} - b_n } $ esiste e $ b_n \to \infty $ allora $ lim \frac{ a_n }{b_n } = lim \frac{ a_{n+1} -a_n }{b_{n+1} - b_n } $ (forse con l'assunzione che $ b_n $ è crescente...).
In questo modo il notro limite viene:
$ \displaystyle lim \frac{ n^n }{ n! e^n( 1 - e^{-1})} $
che fa zero conoscendo i limiti "notevoli" sul fattoriale.
se $ lim \frac{ a_{n+1} -a_n }{b_{n+1} - b_n } $ esiste e $ b_n \to \infty $ allora $ lim \frac{ a_n }{b_n } = lim \frac{ a_{n+1} -a_n }{b_{n+1} - b_n } $ (forse con l'assunzione che $ b_n $ è crescente...).
In questo modo il notro limite viene:
$ \displaystyle lim \frac{ n^n }{ n! e^n( 1 - e^{-1})} $
che fa zero conoscendo i limiti "notevoli" sul fattoriale.
abbiamo
$ $\frac{a_n}{b_n}$ $con $ $a_n=\sum_0^n_i\frac{n^i}{i!}$ $ e $ $b_n=e^n$ $
$ $a_{n+1}-a_n=\sum_0^{n+1}_i\frac{(n+1)^i}{i!}-\sum_0^n_i\frac{n^i}{i!}$ $$ $ =\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}+\sum_0^{n}_i\frac{(n+1)^i-n^i}{i!}$ $
$ $b_{n+1}-b_n=e^{n+1}-e^n=e^n(e-1)$ $
$ $\frac{a_n}{b_n}$ $con $ $a_n=\sum_0^n_i\frac{n^i}{i!}$ $ e $ $b_n=e^n$ $
$ $a_{n+1}-a_n=\sum_0^{n+1}_i\frac{(n+1)^i}{i!}-\sum_0^n_i\frac{n^i}{i!}$ $$ $ =\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}+\sum_0^{n}_i\frac{(n+1)^i-n^i}{i!}$ $
$ $b_{n+1}-b_n=e^{n+1}-e^n=e^n(e-1)$ $
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