Variabile casuale continua

[Andre_tenplus]

Sia X una variabile casuale definita in $ \Re^{+} $ la cui funzione di densità è
$ f(x) = 4 \sqrt{\frac{k^{3}}{\pi}} x^{2} e^{-k x^{2}} $

Dimostrare che:

1) $ \int^{+ \infty}_{0} f(x) dx = 1 $

2) $ M(X) = \int^{+ \infty}_{0} x f(x) dx = \sqrt{\frac{4}{\pi k}} $

3) $ M( X^{2}) = \int^{+ \infty}_{0} x^{2} f(x) dx = \frac{3}{2 k}} $

[killing_buddha]

Puliamo un po'
$ \displaystyle 4\sqrt{\frac{k^3}{\pi}}\int x^2 e^{-kx^2}dx $
$ \displaystyle 4k\sqrt{\frac{k}{\pi}}\int\frac{1}{k\sqrt{k}}t^2 e^{-t^2}dt $
$ \displaystyle \frac{4}{\sqrt{\pi}}\int t^2 e^{-t^2}dt $
$ \frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{\sqrt{\pi}}{4} = 1 $

[killing_buddha]

$ \displaystyle 4\sqrt{\frac{k^3}{\pi}}\int x^3 e^{-kx^2}dx = 4\sqrt{\frac{k^3}{\pi}} \int x \cdot x^2 e^{-kx^2} dx $

cambio variabile $ ~kx^2 = t $ e $ ~2xdx = \frac{dt}{k} $

$ \displaystyle 4\sqrt{\frac{k^3}{\pi}} \int x\frac{t}{k}e^{-t} \frac{dt}{k2x} = 4k\sqrt{\frac{k}{\pi}}\frac{1}{2k^2}\int t e^{-t}dt $

l'integrale fa 1 quindi

$ \displaystyle 4k\sqrt{\frac{k}{\pi}}\frac{1}{2k^2} = \sqrt{\frac{4}{\pi k}} $

[Andre_tenplus]

grazie killing-buddha!!
Il secondo mi torna..ma il primo non so come calcolare

$ \int^{+ \infty}_{0} t^2 e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{4} $
ha a che fare con l'integrale della gaussiana standardizzata??

Chiedo scusa per il terzo integrale, ma il risultato è senza radice quadrata

[killing_buddha]

grazie killing-buddha!!
Il secondo mi torna..ma il primo non so come calcolare

$ \int^{+ \infty}_{0} t^2 e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{4} $
ha a che fare con l'integrale della gaussiana standardizzata??

Chiedo scusa per il terzo integrale, ma il risultato è senza radice quadrata

Si integra per parti:
$ \displaystyle t^2 e^{-t^2} dt = -\frac{1}{2}t\cdot d(e^{-t^2}) $
e quindi l'integrale vale
$ \displaystyle -\frac{1}{2} \left[ te^{-t^2} - \int e^{-t^2}\right] $
calcolato tra 0 e infinito che dovrebbe dare proprio radice di pi quarti: l'integrale tra parentesi e' l'integrale di gauss che fa radice di pi su tutto l'asse, a te ne interessa meta', quindi hai
$ \displaystyle \frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{4} $


Infatti mi sembrava strano... il terzo pero' ora sono troppo di fretta per scriverlo bene. La tecnica e' la stessa pero'! Sicuro che non ti riesce?