Regola dei segni

[Russell]

E' soltanto una curiosità ma...
è possibile dimostrare la regola dei segni ($ +\cdot +=+; \ \ \ \ \ +\cdot -=-; \ \ \ \ \ \ ... $) oppure è soltanto una convenzione?

[FrancescoVeneziano]

Sì, è possibile dimostrarla in ogni anello, anzi potrebbe essere un simpatico esercizio; questo è quello che serve:

Abbiamo un insieme R e due operazioni che indichiamo con gli usuali + e * $ \, R\times R \rightarrow R \, $
Entrambe godono della proprietà associativa, il + anche della proprietà commutativa.
Valgono le proprietà distributive del * rispetto al + (sia dal lato destro che dal lato sinistro).
Esiste un elemento speciale che indichiamo con 0 tale che a+0=0+a=a per ogni elemento a di R
Infine, per ogni elemento a di R esiste un unico elemento di R, che indichiamo con -a tale che a+(-a)=0

Usando queste proprietà, prova a dimostrare che, se a e b sono due elementi di R
(-a)*b=a*(-b)=-(a*b)
e che
(-a)*(-b)=a*b

[Russell]

Io ci provo...ma non ho mai fatto questo tipo di algebra...
(1) Se 0+a=a allora (0+a)*b=a*b e cioè 0*b+a*b=a*b, da cui 0*b=0 per ogni b
(2) Se b=b allora b*(0+a)=b*a e cioè b*0+b*a=b*a, da cui b*0=0 per ogni b
(3) Sappiamo ora che:
------> (i) [a+(-a)]*b=0, e cioè (a*b)+[(-a)*b]=0
------> (ii) a*[b+(-b)]=0, e cioè (a*b)+[a*(-b)]=0
Dobbiamo concludere che (-a)*b e a*(-b) sono uguali (per l'unicità dell'elemento "opposto")
Se è corretto fin qua...allora provo a fare le altre.....mah...

[Sherlock]

-a*[b+(-b)]=0, e cioè (-a*b)+[-a*(-b)]=0

quindi [-a*(-b)] = (a*b), vista anche la proprietà commutativa di cui gode l'operazione + per ipotesi, sono uguali sempre per l'unicità dell'elemento opposto dimostrata in (i) da Russell


visto anche che viene rischiesta come conoscenza di base dalle principali scuole superiori (e tra un pò ci sono i vari esami ) oltre a quella di russel (che credo sia giusta ma in caso correggete ) ci sono altre dimostrazioni?

[Russell]

Cioè tu dici che se (-a) è l'elemento opposto di a allora a è l'elemento opposto di (-a) per la commutatività di +
Così effettivamente viene anche la seconda parte..
Come dimostriamo ora (-a)*b=a*(-b)=-(a*b)??

[Sherlock]

giusto l'avevo scordato vediamo...

non sappiamo che (a*b) + [-(a*b)] = 0 per ipotesi?

quindi sempre per l'unicità dell'elemento opposto e per la (i) e la (ii)

(-a)*b=a*(-b)=-(a*b)


sbaglio qualcosa?

[Russell]

Che idiota che sono!!!
"Alberto...guarda! Ce l'hai scritto davanti al naso!...devi solo leggere!"...diceva il mio prof....
Attendiamo conferma da FrancescoVeneziano ??

[FrancescoVeneziano]

No, non sbagli. Le vostre dimostrazioni sono giuste, e non credo ne esistano di sostanzialmente diverse in questa generalità; in un anello con unità si potrebbe dimostrare che -a=(-1)*a ma in realtà non cambierebbe quasi nulla.
Dovendo dimostrare cose così basilari si deve necessariamente ricorrere agli assiomi, comunque non credo che i programmi scolastici prevedano dimostrazioni formali; credo che a scuola si limitino a presentare le varie regole di manipolazione algebrica come fatti della natura "evidentemente veri" per gli interi.

In realtà però quelli che vi ho dato non sono esattamente gli assiomi di un anello; perché l'assioma afferma che ogni elemento ha un opposto ma l'unicità è un teorema; cioè è possibile dimostrare (facilissimo esercizio) che se
a+b=0 e a+c=0 allora b=c

[Russell]

Può essere che...
(a) se a+b=0 allora a+(-a)+b=0+(-a), da cui b=-a
(b) se a+c=0 allora a+(-a)+c=0+(-a), da cui c=-a
CONCLUSIONE: b=c
Funziona?

[Sherlock]

uhm secondo me no...tu hai chiamato -a il termine opposto ma non sai che è unico quindi non puoi fare quel passo. Ad esempio in R


$ \sqrt{4} = 2 $
$ \sqrt{4} = -2 $

ma $ 2 \neq -2 $

proprio perchè il primo termine non è "unico"

[FrancescoVeneziano]

hmm, l'idea è quella giusta, ma come ha segnalato Sherlock abbiamo dei problemi.
Cos'è -a ? Secondo la definizione che vi ho dato, è quell'unico elemento tale che a+(-a)=0
in particolare, non puoi parlare di -a fino a quando non dimostri che l'inverso è unico! solo a quel punto decidi di chiamarlo -a.

Ma l'unicità è presto dimostrata perché se b e c sono due inversi allora
b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c

Questo se, come definizione di -a prendiamo quella lì.

Naturalmente potrei anche dire che, visto che ogni elemento a possiede un inverso per assioma, quell'inverso lo chiamo -a (ma potrebbero sempre esservene altri); definendo quindi -a prima di dimostrare l'unicità. In questo caso il tuo punto

a+b=0 allora a+(-a)+b=0+(-a), da cui b=-a

dimostra l'unicità.


Spero sia chiara la differenza da un punto di vista formale.

[Sherlock]

Naturalmente potrei anche dire che, visto che ogni elemento a possiede un inverso per assioma, quell'inverso lo chiamo -a (ma potrebbero sempre esservene altri); definendo quindi -a prima di dimostrare l'unicità. In questo caso il tuo punto

a+b=0 allora a+(-a)+b=0+(-a), da cui b=-a

dimostra l'unicità.

Scusa ma così non abbiamo solo dimostrato che b è un opposto di a? Che garanzie abbiamo che non ce ne siano altri?

[FrancescoVeneziano]

No. Siamo partiti dal fatto che b è un opposto (qualunque) di a, e siamo arrivati a b=-a, cioè b è proprio quell'opposto particolare fissato una volta per tutte e dato dagli assiomi. Quindi tutti gli opposti sono lo stesso.



Già che ci sono, Sherlock. Hai scritto

$ \sqrt{4} = -2 $

L'obiezione che muovevi a Russell è corretta, ma quello che hai scritto no. La radice quadrata di x non è "l'insieme dei valori che al quadrato danno x", o "un valore che al quadrato è uguale a x" ma "l'unico numero reale >=0 il cui quadrato è x". È un'onestissima funzione da [0,inf) in [0, +inf), non una "funzione a più valori" o simili orpelli ottocenteschi, e anche in questo caso la dimostrazione dell'unicità deve venire prima della definizione della funzione stessa.

[Sherlock]

Ad esempio definiamo in R col simbolo $ $\sqrt $ la relazione "l'insieme dei valori che al quadrato danno x"


$ \sqrt{4} = 2 $
$ \sqrt{4} = -2 $

ma $ 2 \neq -2 $


proprio perchè il primo termine non è "unico"

[FrancescoVeneziano]

ma a scuola la danno la definizione di funzione?
Una funzione da A a B associa ad ogni elemento di A un elemento di B, non un insieme di valori.
Se a x associ "l'insieme dei valori che al quadrato danno x" non hai una funzione da $ \,\mathbb{R}\, $ in $ \,\mathbb{R}\, $, ma da $ \,\mathbb{R}\, $ nel suo insieme delle parti. Allora puoi scrivere
$ {2 \in \{x\in\mathbb{R}|x^2=2\}} $
$ {-2 \in \{x\in\mathbb{R}|x^2=2\}} $
ma $ 2\neq -2 $.
Formalismi a parte (che comunque sono importanti) credo che l'idea si sia capita.